Mida kontrolltöös kontrollitakse
Märgi linnuke, kui oskus on kindlalt käes. Klõpsa teema pealkirjal, et hüpata selle juurde.
- murde taandada
- teisendada harilikku murdu kümnendmurruks ja kümnendmurdu harilikuks murruks
- arvutada harilike murdudega ning järgida tehete järjekorda
Taandamine
Taandamine tähendab, et jagad lugeja ja nimetaja sama arvuga. Kõige kiiremini saad murru lõpuni taandatud, kui jagad kohe lugeja ja nimetaja suurima ühisteguriga:
1824 = 18 ∶ 624 ∶ 6 = 34
Murru väärtus ei muutu, sest sisuliselt jagad murru arvuga 66 = 1. Ühega jagamine ei muuda midagi. Vastupidine tehe on laiendamine — seda kasutad ühise nimetaja leidmisel.
Liigmurd ja segaarv
Kui lugeja on nimetajast suurem, on tegemist liigmurruga. Jaga lugeja nimetajaga: täisosa on jagatis, jääk läheb uueks lugejaks.
175 = 325 sest 17 ∶ 5 = 3, jääk 2
Tagasi: korruta täisosa nimetajaga ja liida lugeja — 325 = 3 · 5 + 25 = 175.
Harilik murd ↔ kümnendmurd
Harilikust murrust kümnendmurruks: jaga lugeja nimetajaga.
38 = 3 ∶ 8 = 0,375 23 = 2 ∶ 3 = 0,666… = 0,(6)
Kõik murrud ei anna lõppevat kümnendmurdu. Kui nimetajas on peale kahtede ja viite veel mõni tegur, tuleb lõpmatu perioodiline kümnendmurd — periood kirjuta sulgudesse.
Kümnendmurrust harilikuks murruks: kirjuta kümnendkohad lugejasse ja nimetajasse 10, 100 või 1000 vastavalt kümnendkohtade arvule, seejärel taanda.
0,35 = 35100 = 720
Liitmine ja lahutamine
Liita ja lahutada saab ainult ühise nimetajaga murde. Vii murrud ühisele nimetajale ja liida siis ainult lugejad:
23 + 14 = 812 + 312 = 1112
Korrutamine ja jagamine
Korrutamisel korruta lugeja lugejaga ja nimetaja nimetajaga — ühist nimetajat ei ole vaja. Kõige mugavam on taandada juba enne korrutamist, üle risti:
49 · 38 = 13 · 12 = 16
Jagamisel korruta pöördmurruga — jagaja pööratakse tagurpidi:
35 ∶ 27 = 35 · 72 = 2110 = 2110
- 1. Vii kõik ühele kujule. Segaarvud liigmurdudeks, kümnendmurrud harilikeks murdudeks (või kõik kümnendmurdudeks, kui see on lihtsam).
- 2. Sulud. Tee kõigepealt ära kõik sulgudes olevad tehted.
- 3. Astendamine.
- 4. Korrutamine ja jagamine — vasakult paremale, samas järjekorras nagu need kirjas on. Jagamise asenda korrutamisega pöördmurruga ja taanda enne korrutamist.
- 5. Liitmine ja lahutamine — vasakult paremale. Alles siin läheb vaja ühist nimetajat.
- 6. Vormista vastus. Taanda lõpuni ja teisenda liigmurd segaarvuks.
Nimetajaid ei liideta kunagi. 23 + 14 ei ole 37. Nimetaja ütleb, kui suurteks osadeks tervik on jagatud — see peab enne liitmist mõlemal murrul ühesugune olema.
Segaarve ei korrutata osade kaupa. 212 · 113 ei ole 216. Teisenda kõigepealt liigmurdudeks: 52 · 43 = 103 = 313.
Murd on jagamistehe: 38 tähendab täpselt sama, mis 3 ∶ 8. Sellepärast saabki iga hariliku murru kümnendmurruks teisendada ja sellepärast tohibki murdu taandada.
Teisenda murrud peast ligikaudseteks kümnendarvudeks ja arvuta kiiresti üle. 712 ≈ 0,58 ja 23 ≈ 0,67. Kui täpne vastus ja ligikaudne hinnang erinevad kordades, on kuskil taandamis- või nimetajaviga.
- leida osa tervikust
- leida osa ja protsendimäära järgi tervikut
- väljendada kahe arvu suhet protsentides
- leida, mitu protsenti on üks arv teisest suurem või väiksem
Protsent on üks sajandik osa tervikust: 1 % = 1100 = 0,01. Tervik ise on alati 100 %.
Teisendamine
Protsendist kümnendmurruks — jaga 100-ga (koma nihkub kaks kohta vasakule). Kümnendmurrust protsendiks — korruta 100-ga.
| Protsent | Kümnendmurd | Harilik murd |
|---|---|---|
| 25 % | 0,25 | 14 |
| 7 % | 0,07 | 7100 |
| 120 % | 1,2 | 65 |
Kolm põhiülesannet
Protsendiülesandes on alati kolm suurust: tervik, osa ja protsendimäär p. Kaks neist on antud, kolmandat otsid. Sellest sõltub kogu lahenduskäik.
1. Osa leidmine tervikust
osa = tervik · p100
18 % arvust 250 → 250 · 0,18 = 45
2. Terviku leidmine osa ja protsendimäära järgi
tervik = osa ∶ p100
45 on 18 % arvust → 45 ∶ 0,18 = 250
Siin jagatakse, mitte ei korrutata. Loogika on lihtne: kui otsitav tervik on osast suurem, ei saa vastus tulla korrutamisest arvuga, mis on väiksem kui 1.
3. Suhte väljendamine protsentides
p = osatervik · 100 %
45 arvust 250 → 45250 · 100 % = 18 %
Mitu protsenti on üks arv teisest suurem või väiksem
See on kolmanda põhiülesande erijuht: protsentides ei väljendata mitte arvu ennast, vaid vahet.
a − bb · 100 %
Võrdlusaluseks on alati see arv, millega võrreldakse — sõna „teisest“ järel olev arv läheb nimetajasse. Kui küsitakse „mitu protsenti on 100 suurem kui 80“, on võrdlusalus 80: 2080 · 100 % = 25 %. Kui küsitakse „mitu protsenti on 80 väiksem kui 100“, on võrdlusalus 100: 20100 · 100 % = 20 %. Sama arvupaar, kaks erinevat vastust.
Suurenda 100 esmalt 20 % võrra ja vähenda saadud tulemust 20 % võrra:
100 · 1,2 = 120 120 · 0,8 = 96
Algse 100 asemel tuleb 96. Põhjus: esimene 20 % arvutati arvust 100, teine juba arvust 120. Kaks protsenti käivad eri tervikute kohta, seega neid ei tohi liita ega lahutada.
- 1. Leia tervik. See on see, mille kohta protsent käib — algne hind, kogu klass, terve summa. Tervik on 100 %.
- 2. Kirjuta välja, mis on antud ja mis on küsitud. Märgi kolmest suurusest (tervik, osa, p) puuduv ära.
- 3. Vali tehe. Otsid osa → korruta. Otsid tervikut → jaga. Otsid protsenti → jaga osa tervikuga ja korruta 100-ga.
- 4. Vaata, kas protsent käib vahe kohta. Kui küsimuses on „suurem“, „väiksem“, „odavam“, „kasvas“, „langes“, pane lugejasse vahe ja nimetajasse võrdlusalus.
- 5. Arvuta kümnendmurruga, mitte protsendimärgiga.
- 6. Kontrolli suurusjärku. Vähendamise järel peab tulemus olema algsest väiksem, suurendamise järel suurem.
Terviku leidmisel korrutatakse jagamise asemel. Kui 84 € on 70 % algsest hinnast, siis 84 · 0,7 = 58,80 on vale — algne hind peab olema suurem kui 84 €. Õige on 84 ∶ 0,7 = 120.
Vale võrdlusalus. Vahe jagatakse alati võrdlusaluseks oleva arvuga, mitte suurema või mitte alati esimesena kirjutatud arvuga. Küsimusest „mitu protsenti on a suurem kui b“ tuleb nimetajasse b.
Suurendamine 15 % võrra on korrutamine 1,15-ga, vähendamine 15 % võrra korrutamine 0,85-ga. Nii ei pea vahet eraldi liitma ega lahutama ja mitmeastmelise ülesande saab ühe reaga: 250 · 1,2 · 0,8 = 240.
- rakendada kaksliikme ruudu valemeid
- rakendada ruutude vahe valemit
- koondada sarnaseid liikmeid
Sarnased liikmed ja koondamine
Sarnased liikmed on liikmed, milles on sama muutuja samas astmes. Kordaja võib olla ükskõik milline — tema järgi sarnasust ei otsustata.
Koondamine tähendab ainult kordajate liitmist; muutuja ja tema aste jäävad samaks: 3x + 5x = 8x. Seevastu 3x + 5x2 ei koondu, sest astmed on erinevad — see avaldis ongi juba lõplik. Sama lugu on liikmetega 4x ja 4y.
Enne koondamist tuleb sulud lahti saada. Miinusmärk sulu ees muudab sulus oleva iga liikme märgi: 7x − (2x − 9) = 7x − 2x + 9 = 5x + 9. Plussmärgiga sulu ees ei muutu midagi.
Kolm abivalemit, mis peavad peas olema
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2Loe nii: esimese ruut, pluss kahekordne korrutis, pluss teise ruut.
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2Loe nii: esimese ruut, miinus kahekordne korrutis, pluss teise ruut. Pane tähele: viimane liige on ikka pluss, sest miinus korda miinus annab plussi.
(a − b)(a + b) = a2 − b2Loe nii: esimese ruut miinus teise ruut. Keskmine liige taandub siin välja, sest −ab + ab = 0.
Tähed a ja b ei tähenda ainult arve — nende asemel võib olla ükskõik milline liige, ka 3x või 2y. Näiteks (3x + 2)2 = (3x)2 + 2 · 3x · 2 + 22 = 9x2 + 12x + 4. Kogu liige tuleb ruutu võtta, seega ka kordaja: (3x)2 = 9x2, mitte 3x2.
Valemid töötavad mõlemas suunas
Vasakult paremale lugedes avad sulu, paremalt vasakule lugedes tegurdad. Kontrolltöös küsitakse mõlemat.
| Suund | Näide |
|---|---|
| sulu avamine | (x − 6)2 = x2 − 12x + 36 |
| tegurdamine | x2 − 64 = (x − 8)(x + 8) |
Ruutude vahe valemit saab tegurdamiseks kasutada siis, kui avaldises on täpselt kaks liiget, nende vahel on miinus ja mõlemad on täisruudud (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 ja x2, 9x2, 25x2 …). Kui täisruute pole näha, vaata kõigepealt, kas saab ühisteguri sulgude ette tuua: 5x2 − 45 = 5(x2 − 9) = 5(x − 3)(x + 3).
Ruutude summa a2 + b2 ei tegurdu — sellist valemit ei ole olemas. Kui liikmete vahel on pluss, on avaldis juba lõplik.
- 1. Loe liikmed üle ja vaata, mis kuju avaldisel on.
- 2. Kas on sulg ruudus? Siis kasuta kaksliikme ruudu valemit ja vali märk sulus oleva märgi järgi.
- 3. Kas on kaks sulgu, mis erinevad ainult keskmise märgi poolest? Siis on see ruutude vahe: tulemuseks jääb kaks liiget.
- 4. Kui pead tegurdama: võta kõigepealt ühistegur sulgude ette, alles siis vaata, kas sulgu jääb ruutude vahe.
- 5. Ava kõik ülejäänud sulud ja ole hoolikas miinusmärgiga sulu juures.
- 6. Koonda sarnased liikmed ja järjesta vastus astmete kahanevas järjekorras: x2, siis x, siis vabaliige.
Kõige sagedasem viga kogu peatükis on kirjutada (a + b)2 = a2 + b2. See on vale — keskmine liige 2ab jäi ära.
Kontrolli arvudega. Võta a = 3 ja b = 4:
(3 + 4)2 = 72 = 49 32 + 42 = 9 + 16 = 2549 ei ole 25. Puudu jäi täpselt 2 · 3 · 4 = 24 ehk keskmine liige. Sama kehtib miinusega: (a − b)2 ei ole a2 − b2.
Kui sa ei ole vastuses kindel, asenda nii algsesse kui ka lihtsustatud avaldisse sama arv, näiteks x = 1. Õige teisenduse korral peavad mõlemad andma sama arvu. See võte leiab üles peaaegu kõik märgivead ja võtab pool minutit.
- lihtsustada avaldist ja arvutada avaldise väärtust muutuja etteantud väärtuse korral
Mida tähendab lihtsustada
Lihtsustamine tähendab avaldise kirjutamist võimalikult lühidalt, ilma et selle väärtus muutuks. Lihtsustatud avaldis annab iga x korral täpselt sama arvu mis algne — seepärast tohibki väärtust arvutada lihtsustatud kujult.
- 1. Ava sulud. Abivalemid (a ± b)2 ja (a − b)(a + b), sulu korrutamine arvu või liikmega, miinusmärgiga sulg.
- 2. Koonda sarnased liikmed — liidad ainult kordajaid, muutuja aste jääb samaks.
- 3. Järjesta liikmed astmete kahanevas järjekorras: kõigepealt x2, siis x, siis vabaliige.
- 4. Alles nüüd asenda muutuja väärtus lihtsustatud avaldisse. Negatiivne arv pane sulgudesse.
- 5. Arvuta tehete järjekorras: esmalt astmed, siis korrutamine ja jagamine, viimasena liitmine ja lahutamine.
- 6. Kirjuta vastus koos muutuja väärtusega: x = 3 korral avaldise väärtus on …
Miks mitte kohe arvu asendada
Arvu võib põhimõtteliselt asendada ka algsesse avaldisse — vastus tuleb sama. Aga lihtsustatud avaldises on liikmeid vähem, seega on ka tehteid vähem ja vigu vähem. Eriti selgelt on see näha siis, kui muutuja väärtus on negatiivne arv või kümnendmurd: lihtsustamata avaldises tuleks sama kohmakat arvu ruutu võtta mitu korda.
Arvu asendamine ilma vigadeta
Kui muutuja väärtus on negatiivne, pane ta alati sulgudesse. Sulg näitab, et ruutu võetakse kogu arv koos miinusmärgiga.
| Kirjapilt | Tähendus | Väärtus |
|---|---|---|
| (−3)2 | miinus kolm korda miinus kolm | 9 |
| −32 | miinus (kolm korda kolm) | −9 |
| (−3)3 | miinus kolm kolmandas astmes | −27 |
Seega x2 on x = −3 korral (−3)2 = 9, mitte −9. Paarisarvuline aste teeb negatiivsest arvust positiivse, paaritu aste jätab miinuse alles. Sulg on vajalik ka korrutamisel: −2x annab x = −3 korral −2 · (−3) = 6.
Murdarvuga asendamisel on kaks võimalust: arvuta kümnendmurruga (0,52 = 0,25) või teisenda harilikuks murruks (12) ja arvuta murdudega. Harilik murd on täpsem, kui kümnendmurd ei ole lõplik, näiteks 13 korral.
Kui avaldis on x2 − 2x ja x = −3, kirjutatakse kontrolltöös tihti −32 − 2 · −3. Mõlemad kohad on valed: aste saab vale märgi ja korrutis jääb ilma sulguta arusaamatuks.
Õige kirjapilt on (−3)2 − 2 · (−3) = 9 + 6 = 15. Vale kirjapilt annaks −9 − 6 = −15 — märk on vastupidine ja terve ülesanne läheb kaotsi.
Reegel: niipea kui asendatav arv on negatiivne, tulevad sulud. Alles pärast asendamist hakka tehteid tegema.
Kas lihtsustus on õige? Asenda nii algsesse kui ka lihtsustatud avaldisse sama lihtne arv, näiteks x = 1 või x = 0. Kui tulemused erinevad, on viga sulgude avamises. Kui nad langevad kokku kahe eri arvu korral, on lihtsustus peaaegu kindlasti õige.
- lahendada lineaarvõrrandit
Mis on lineaarvõrrand
Lineaarvõrrand on võrrand, kus tundmatu x esineb ainult esimeses astmes — ei ole x2, ei ole x murru nimetajas ega juure all. Lahendada tähendab leida see x, mille korral vasak pool võrdub parema poolega.
Kaks põhiomadust, millel kõik põhineb
- Võrrandi mõlemale poolele tohib liita või mõlemalt poolt lahutada sama arvu või sama avaldise.
- Võrrandi mõlemat poolt tohib korrutada või jagada sama arvuga, mis ei ole null.
Mõtle sellele nagu kaalule: kui paned ühele kaussi juurde, pead sama palju panema ka teise, muidu kaal enam tasakaalus ei ole.
- 1. Vabane murdudest. Korruta kogu võrrand läbi nimetajate vähima ühiskordsega. Iga liige mõlemal pool tuleb korrutada.
- 2. Ava sulud. Ole tähelepanelik miinusmärgiga sulu ees.
- 3. Vii tundmatud vasakule, arvud paremale. Üle võrdusmärgi minnes muutub märk vastupidiseks.
- 4. Koonda sarnased liikmed mõlemal pool.
- 5. Jaga tundmatu kordajaga.
- 6. Kontrolli — aseta leitud x algsesse võrrandisse.
Kui liige läheb teisele poole võrdusmärki, muutub tema märk vastupidiseks. Võrrandist 5x − 3 = 12 saab 5x = 12 + 3, mitte 5x = 12 − 3.
Teine sama ohtlik koht: miinusmärgiga sulg. 4x − (3 − x) = 4x − 3 + x — miinus muudab sulu mõlema liikme märgi.
Kaks erijuhtu, mida kontrolltöös armastatakse
Mõnikord kaovad kõik x-id ära. Siis vaata, mis alles jäi:
| Kui alles jääb | Näide | Vastus |
|---|---|---|
| vale arvuline võrdus | −6 = 5 | Lahendeid ei ole |
| õige arvuline võrdus | 7 = 7 | Lahendiks on iga arv |
Kui x-id kaovad, ei ole sa eksinud — see ongi vastus. Kirjuta järeldus sõnadega välja, ainult „0 = 5“ punkte ei anna.
Aseta leitud x algsesse võrrandisse (mitte sellesse, mille ise vahepeal kirjutasid — seal võib viga sees olla). Arvuta vasak ja parem pool eraldi välja. Kui mõlemad annavad sama arvu, on vastus kindlalt õige.
- lahendada lineaarvõrrandisüsteemi liitmisvõtte, asendusvõtte või graafilise võtte abil
Mis on süsteem ja mis on selle lahend
Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem on kaks võrrandit, mis kehtivad korraga. Süsteemi kirjutad alati kahele reale, ühte looksulgu:
3x + 2y = 12x − y = 1
Süsteemi lahend ei ole üks arv, vaid arvupaar (x; y), mis sobib mõlemasse võrrandisse. Paar, mis sobib ainult ühte võrrandisse, ei ole lahend. Vastus kirjuta alati kujul (2; 3) — esimesena x, siis semikoolon, siis y.
Asendusvõte
Avalda ühest võrrandist üks tundmatu ja aseta see avaldis teise võrrandisse. Teise võrrandisse jääb siis ainult üks tundmatu — see on juba tavaline lineaarvõrrand.
Millal mugav: kui mõne tundmatu kordaja on 1 või −1. Ülal olevas süsteemis annab teine võrrand kohe x = y + 1, murde ei teki.
Liitmisvõte
Tee ühe tundmatu kordajad vastandarvudeks (korruta üht või mõlemat võrrandit sobiva arvuga) ja liida võrrandid liikmeti kokku. See tundmatu taandub välja.
Millal mugav: kui ükski kordaja ei ole 1, aga kordajad on väikesed täisarvud — näiteks 3x ja 5x. Siis korruta esimest 5-ga ja teist (−3)-ga.
Graafiline võte
Joonesta mõlemad võrrandid sirgetena ühte teljestikku. Lahend on sirgete lõikepunkt. Graafiliselt saad lahendi ainult ligikaudu — kui lõikepunkt ei satu täpselt ruudustiku sõlme, tuleb vastus arvutusega üle kontrollida.
Kolm võimalikku juhtu
- 1. Korrasta mõlemad võrrandid. Ava sulud, vii tundmatud vasakule ja vabad liikmed paremale, et kuju oleks ax + by = c.
- 2. Vali võte. Kas kuskil on kordaja 1 või −1? Siis asendusvõte. Kui ei ole — liitmisvõte. Graafilist võtet kasuta ainult siis, kui ülesanne seda otse nõuab.
- 3. Taanda üks tundmatu välja. Asendusvõttes asenda avaldis, liitmisvõttes korruta ja liida.
- 4. Lahenda tekkinud ühe tundmatuga võrrand.
- 5. Leia teine tundmatu: aseta leitud arv tagasi lihtsamasse algsesse võrrandisse.
- 6. Kontrolli mõlemas võrrandis ja kirjuta vastus arvupaarina (x; y).
Leitakse ainult üks tundmatu ja jäädakse pidama. Kui oled saanud x = 2, ei ole ülesanne lahendatud — see on alles pool. Aseta see kohe tagasi ja leia ka y. Vastus ilma teise tundmatuta ei ole süsteemi lahend.
Liitmisvõttes jäetakse mõni liige korrutamata. Kui korrutad võrrandi 2x + 5y = 41 arvuga −2, tuleb korrutada kõiki kolme osa: −4x − 10y = −82. Kõige tihedamini unustatakse ära just parempoolne arv.
Aseta leitud paar mõlemasse algsesse võrrandisse ja arvuta kummagi vasak pool eraldi välja. Kui sobib ainult üks võrrand, oled suure tõenäosusega eksinud just selles võrrandis, mida läbi korrutasid või millest avaldasid.
- lugeda funktsiooni graafikult argumendi ja funktsiooni väärtusi
- määrata graafikul kujutatud punkti koordinaate
- selgitada mõisteid abstsiss ja ordinaat
- määrata sirge tõusu graafiku põhjal
- eristada tõusvaid ja langevaid sirgeid
- joonestada lineaarfunktsiooni graafikut
- joonestada võrdelise seose graafikut
Koordinaattasand ja punkti koordinaadid
Koordinaattasandi moodustab kaks risti olevat arvtelge. Horisontaalne on x-telg ehk abstsisstelg, vertikaalne on y-telg ehk ordinaattelg. Nende lõikepunkt on nullpunkt O(0; 0). Teljed jaotavad tasandi neljaks veerandiks.
Punkt kirjutatakse alati kujul (abstsiss; ordinaat) ehk (x; y). Näiteks A(3; −2) tähendab: mine x-teljel 3 ühikut paremale ja sealt 2 ühikut alla. Esimene arv sulgudes on ALATI x.
Abstsiss on punkti esimene koordinaat — punkti kaugus y-teljest. Seda mõõdetakse x-teljel.
Ordinaat on punkti teine koordinaat — punkti kaugus x-teljest. Seda mõõdetakse y-teljel.
Meeldejätmise nipp: tähestikus tuleb a enne o, täpselt nagu abstsiss enne ordinaati.
Graafikult lugemine
Argument x on see, mille sa funktsiooni sisse paned; funktsiooni väärtus y on see, mis tuleb välja. Tähistus on y = f(x), näiteks f(2) = 5 loetakse „kui x = 2, siis y = 5“.
- Antud x, otsid y: leia arv x-teljelt, liigu sealt üles või alla graafikuni, siis sealt rõhtsalt vasakule y-teljele. Sealt loed vastuse.
- Antud y, otsid x: tee sama vastupidi — y-teljelt rõhtsalt graafikuni, sealt püstiselt x-teljele.
Küsimus „millise x korral on f(x) = 0“ tähendab lihtsalt: kus graafik lõikab x-telge.
Lineaarfunktsioon y = kx + b
Lineaarfunktsiooni graafik on alati sirge. Kaks arvu määravad ta täielikult ära:
- k on sirge tõus — näitab, mitu ühikut liigub sirge üles, kui minna ühe ühiku paremale.
- b on algordinaat — koht, kus sirge lõikab y-telge. See ongi punkt (0; b).
Tõusu leiad graafikult nii: vali sirgelt kaks selget punkti (x1; y1) ja (x2; y2) ning arvuta
k = y2 − y1x2 − x1ehk „mitu ühikut üles, jagatud sellega, mitu ühikut paremale“.
| Tõus | Sirge | Kuidas paistab |
|---|---|---|
| k > 0 | tõusev | vasakult paremale ülespoole |
| k < 0 | langev | vasakult paremale allapoole |
| k = 0 | x-teljega paralleelne | rõhtne sirge y = b |
- 1. Joonesta teljestik ruudustikuga, nummerda teljed, märgi sildid x ja y.
- 2. Vali x väärtused. Võta kindlasti x = 0 — see annab kohe punkti (0; b). Lisa veel üks-kaks lihtsat arvu, näiteks 1 ja 2.
- 3. Koosta tabel ja arvuta iga x jaoks välja y.
- 4. Kanna punktid teljestikku. Loe koordinaadid alati järjekorras: kõigepealt x, siis y.
- 5. Tõmba joonlauaga sirge läbi punktide ja pikenda seda mõlemast otsast üle punktide.
- 6. Kontrolli: kõik kolm punkti peavad olema ühel sirgel. Kui üks jääb välja, on seal arvutusviga.
Sirge jaoks piisab kahest punktist, aga arvuta alati kolmas kontrolliks — kaks punkti on alati ühel sirgel ka siis, kui mõlemad on valed.
Võrdeline seos y = kx
Võrdeline seos on lineaarfunktsiooni erijuht, kus b = 0. Sellest järeldub kõige tähtsam asi: graafik läbib alati nullpunkti O(0; 0). Seega piisab joonestamiseks nullpunktist ja ühest lisapunktist.
Võrdelise seose tunnus arvudes: suhe y ∶ x on kõigi punktide jaoks üks ja sama arv — see ongi k, võrdetegur.
1. Koordinaadid vahetuses. Punkt (3; −2) ei ole sama mis (−2; 3) — need on täiesti eri kohtades, isegi eri veerandites. Loe alati: esimene arv x-teljelt, teine y-teljelt.
2. Tõusu murd tagurpidi. Tõus on ülesparemale, mitte vastupidi. Punktide (1; 5) ja (3; 9) korral on k = 9 − 53 − 1 = 2, mitte 3 − 19 − 5 = 0,5. Ja kui lahutad lugejas y2 − y1, pead nimetajas lahutama samas järjekorras x2 − x1.
Vaata valmis joonist ja küsi kaks asja. Kas sirge lõikab y-telge täpselt kohal b? Kas sirge tõuseb, kui k > 0, ja langeb, kui k < 0? Kui mõni ei klapi, on viga tabelis, mitte joonistamises.
- lahendada tekstülesandeid
Tekstülesandel on alati sama kord
Tekstülesanne ei ole arvutusülesanne, vaid tõlkimine: eesti keelest võrrandi keelde. Raske osa ei ole võrrandi lahendamine, vaid selle koostamine. Kui järgid alati sama korda, ei jää ükski ülesanne poolikuks.
- 1. Loe läbi ja märgi ära, mida küsitakse. Tõmba küsimusele joon alla. Just sellele pead lõpus vastama.
- 2. Joonesta või tee tabel. Liikumis- ja tööülesandel tabel, geomeetrilisel joonis. Pooled vead kaovad juba siin.
- 3. Vali tundmatu ja kirjuta välja, mida see tähendab — näiteks „olgu x pliiatsi hind eurodes“. Ilma selle lauseta ei saa täispunkte, isegi kui arvutus on õige.
- 4. Väljenda teised suurused tundmatu kaudu. „2 eurot kallim“ on x + 2, „kolm korda rohkem“ on 3x, „2x eest ostetud kogus“ läheb tabelisse.
- 5. Leia lausest see koht, mis annab VÕRDUSE. Otsi sõnu kokku, sama palju kui, … võrra suurem, pindala on, ümbermõõt on. Võrduseta ei ole võrrandit.
- 6. Lahenda võrrand või süsteem.
- 7. Kontrolli lahendi sobivust ülesande mõttega ja vasta täislausega. Hind ei saa olla negatiivne, inimeste arv ei saa olla 7,5.
Tüüpilised ülesandeliigid
- Hinnad ja kogused — hind korda kogus annab maksumuse; „kokku“ annab võrduse.
- Liikumine — s = v · t. Tee alati tabel kiirus–aeg–teekond.
- Vanused — mitu aastat hiljem mõlemad vananevad ühepalju: x + 5 ja 3x + 5.
- Tööjaotus — jaga jagatav osadeks, mis kokku annavad terviku.
- Protsent — 1 % on sajandik tervikust; tervik on see arv, millest protsenti võetakse.
- Geomeetriline — ümbermõõt P = 2(a + b), pindala S = a · b; joonis on kohustuslik.
Kui ülesandes on kaks eraldi suurust ja nende kohta antakse kaks eri tingimust (näiteks kaks ostu, kaks eri hinda ja kaks kogust), on süsteem selgem kui üks võrrand: iga tingimus annab ühe võrrandi ja midagi ei pea peas kokku sobitama. Ühe tundmatuga saad hakkama siis, kui teine suurus on esimese kaudu lihtsalt öeldud („2 eurot kallim“, „kaks korda rohkem“).
Leiti laius, aga küsiti pindala. Kui oled saanud x = 12, loe küsimus uuesti läbi ja vaata, kas x ongi see, mida küsiti. Vastus x = 12 ei ole vastus — vastus on täislause koos ühikuga: „Ristküliku pindala on 108 cm2.“
Mõttetu lahend jäetakse kõrvale jätmata. Kui võrrand annab hinnaks −4 eurot või inimeste arvuks 7,5, ei tohi seda lihtsalt maha vaikida. Kirjuta üks lause: „x = −4 ei sobi, sest hind ei saa olla negatiivne.“