Arvuta: −1,5 − (−213) · 37
1
Kirjuta segaarv harilikuks murruks
−213 = −73
Segaarv „täisarv ja murd" tähendab täisarv + murd. Korruta täisosa nimetajaga ja liida lugeja: 2·3+1=7, seega 2⅓=7/3. Miinusmärk jääb terve arvu ette.
2
Korruta murrud — jäta märk kindlasti alles
−73 · 37 = −1
Negatiivne korda positiivne annab negatiivse tulemuse. Murdude korrutamisel taandatakse (siin 7 ja 7, 3 ja 3), aga taandamine ei mõjuta märki — miinus jääb alles ka pärast taandamist.
3
Aseta tagasi ja lahenda „miinus miinus"
−1,5 − (−1) = −1,5 + 1 = −0,5
Kahe miinusmärgi kõrvuti seismine (lahutamine negatiivsest arvust) muutub liitmiseks: „− (−1)" = „+1".
Vastus−0,5 ehk −12
a) Leia 15% avaldise 34 · (12)2 väärtusest
1
Arvuta kõigepealt avaldise väärtus
34 · (12)2 = 81 · 14 = 20,25
Astendamine käib murru puhul eraldi lugejale ja nimetajale: (½)² = 1²/2² = 1/4.
2
Võta saadud arvust 15%
20,25 · 0,15 = 3,0375
„n% arvust" tähendab: korruta arv murduga n/100. Siin 15% = 0,15.
Vastus a)3,0375
b) Leia arv, millest 18% on 54
1
Jaga teadaolev osa protsendimääraga
54 ∶ 0,18 = 300
Kui 18% otsitavast arvust on 54, siis kogu arv (100%) leitakse jagamisel: osa jagatud protsendimääraga (kümnendmurruna) annab terviku.
Vastus b)300
c) Mitu protsenti moodustab arv 45 arvust 180?
1
Jaga osa tervikuga
45180 = 14 = 25%
45 on „osa", 180 on „tervik" — osa jagatakse alati tervikuga (mitte vastupidi), tulemus teisendatakse protsendiks (korruta 100%-ga).
Vastus c)25%
d) Mitme protsendi võrra on arv 72 suurem arvust 60?
1
Leia, mitu protsenti arvust 60 arv 72 moodustab
7260 · 100% = 120%
2
Lahuta 100%, et leida ainult „ülejääv" osa
120% − 100% = 20%
60 ise on „100%". Küsitakse, mitme protsendi võrra 72 on suurem — see on ainult vahe (120%−100%), mitte kogu 120%.
Vastus d)20%
a) Ava sulud
1
Kahe liikme summa ruut
(2a + 3b)2 = 4a2 + 12ab + 9b2
Valem (x+y)² = x² + 2xy + y². Siin x=2a, y=3b: x²=4a², y²=9b², keskmine liige 2·2a·3b=12ab.
2
Ruutude vahe kuju
(4x − 1)(1 + 4x) = (4x)2 − 12 = 16x2 − 1
Kirjuta tegurid ümber kujule (4x−1)(4x+1) — see on (a−b)(a+b) = a²−b² muster, kus a=4x, b=1.
Vastused a)4a²+12ab+9b² ja 16x²−1
b) Lihtsusta avaldis ja arvuta selle väärtus, kui x = −1: (x − 4)2 − (x − 3)(2x − 1)
1
Ava mõlemad sulud eraldi
(x − 4)2 = x2 − 8x + 16
(x − 3)(2x − 1) = 2x2 − x − 6x + 3 = 2x2 − 7x + 3
Teise sulupaari korrutamisel korruta iga liige iga liikmega: x·2x, x·(−1), (−3)·2x, (−3)·(−1) — kokku neli liidetavat.
2
Lahuta terve teine sulg — pane see sulgudesse
(x2 − 8x + 16) − (2x2 − 7x + 3) = x2 − 8x + 16 − 2x2 + 7x − 3
Kõige tähtsam koht: miinusmärk enne sulgu muudab iga liikme märki sees, mitte ainult esimest. „− 2x²−7x+3" avaneb kujul „− 2x²+7x−3".
3
Koonda sarnased liikmed
(x2 − 2x2) + (−8x + 7x) + (16 − 3) = −x2 − x + 13
4
Arvuta väärtus, kui x = −1
−(−1)2 − (−1) + 13 = −1 + 1 + 13 = 13
Kontroll otse algsest avaldisest: (−1−4)² − (−1−3)(2·(−1)−1) = (−5)² − (−4)(−3) = 25 − 12 = 13. Sama tulemus mõlemat teed pidi.
Vastus b)Lihtsustatud avaldis: −x2 − x + 13. Väärtus x=−1 juures: 13.
Lahenda võrrand: 2x − 13 − x + 24 = x − 16. Kirjalik kontroll ei ole nõutud.
1
Korruta kõik liikmed murdude ühisnimetajaga (12)
4(2x − 1) − 3(x + 2) = 2(x − 1)
Ühisnimetaja arvudele 3, 4, 6 on 12. Jaga 12 iga nimetajaga, et saada iga liikme kordaja: 12∶3=4, 12∶4=3, 12∶6=2. Kui korrutad kõiki liikmeid sama arvuga, jääb võrrand samaks, aga murrud kaovad.
2
Ava sulud — teise sulu ees on miinus!
8x − 4 − 3x − 6 = 2x − 2
„− 3(x + 2)" avaneb kujul „− 3x − 6" — mõlemad liikmed sulu sees muudavad märki, kuna ees on miinus.
3
Koonda tundmatud ühele, arvud teisele poole
8x − 3x − 2x = 4 + 6 − 2
3x = 8
Kui liige „kolib" võrdusmärgi teisele poole, muudab ta märki (2x jäi vasakule, muutus −2x-iks; −4,−6 ja +2 kolisid paremale, muutudes +4,+6,−2).
4
Jaga 3-ga
x = 83 ≈ 2,67
Vastusx = 83
Lahenda süsteem: 2x + 3y = 5 ja 4x + 9y = 11. Tee kirjalik kontroll.
1
Korruta esimene võrrand nii, et x-id taanduksid
2x + 3y = 5 |·(−2) ⟹ −4x − 6y = −10
Kui korrutad terve võrrandi sama arvuga, jääb ta samaks võrdsuseks. Valime −2, sest siis on x-i kordaja (−4) täpselt vastandmärgiga teise võrrandi x-i kordajale (4) — nii kaovad x-id, kui võrrandid kokku liita.
2
Liida saadud võrrand teise võrrandiga, leia y
(−4x − 6y) + (4x + 9y) = −10 + 11
3y = 1 ⟹ y = 13
x-id (−4x ja +4x) taanduvad nulliks, alles jääb ainult y-iga võrrand, mille saab otse lahendada.
3
Aseta y väärtus algsesse võrrandisse, leia x
2x + 3·13 = 5 ⟹ 2x + 1 = 5 ⟹ 2x = 4 ⟹ x = 2
4
Kirjalik kontroll — aseta mõlemasse algsesse võrrandisse
2·2 + 3·13 = 4 + 1 = 5 ✓
4·2 + 9·13 = 8 + 3 = 11 ✓
Kontroll näitab, kas leitud x ja y sobivad korraga mõlemasse algsesse võrrandisse — kui üks pool ei klapi, on kusagil tehtud arvutusviga.
Vastusx = 2, y = 13
Joonisel on kujutatud funktsioonide y = 23x ja y = −13x + 3 graafikud. Sirge y=−⅓x+3 läbib punkti A(−3;4) ja lõikepunkti M.
y = ⅔x
y = −⅓x + 3
y = 2x − 3 (lisatud, vt 7. osa)
1) Kumb sirge kummale funktsioonile vastab?
1
Vaata, kas sirge läbib alguspunkti
Origot (0,0) läbiv, paremale tõusev sirge on y = ⅔x funktsiooni graafik.
Langev sirge, mis lõikab y-telge punktis 3, on y = −⅓x + 3 funktsiooni graafik.
Võrdeline funktsioon y=kx läbib alati alguspunkti (0,0). Kui vabaliige b≠0 (nagu −⅓x+3-s), ei lähe graafik enam läbi alguspunkti, vaid lõikab y-telge punktis (0; b).
2) Mis tüüpi funktsioon on y = −⅓x + 3?
1
See on lineaarfunktsiooni graafik — mitte võrdeline seos.
Üldkuju on y=kx+b. Võrdeliseks nimetatakse funktsiooni ainult siis, kui b=0. Siin b=3≠0, seega on tegu (üldise) lineaarfunktsiooniga.
3) Leia graafikult funktsiooni y = ⅔x väärtus, kui argumendi väärtus on 3
1
y = 23 · 3 = 2
„Argument" tähendab x-i väärtust, mis asendatakse valemisse.
Vastus 3)y = 2
4) Arvuta funktsiooni y = −⅓x + 3 argumendi väärtus, mille korral funktsiooni väärtus on 0
1
0 = −13x + 3 ⟹ 13x = 3 ⟹ x = 9
„Funktsiooni väärtus on 0" tähendab y=0 — see on koht, kus sirge lõikab x-telge.
Vastus 4)x = 9
5) Tähista sirgete lõikepunkt M ning kirjuta välja selle koordinaadid
1
Võrdsusta kaks funktsiooni avaldist
23x = −13x + 3
Lõikepunktis on mõlema sirge y-väärtus võrdne sama x-i juures — seepärast võib mõlema funktsiooni avaldised omavahel võrdsustada.
2
23x + 13x = 3 ⟹ x = 3 ⟹ y = 23·3 = 2
Vastus 5)M(3; 2)
6) Kirjuta välja punkti A abstsiss
1
Punkt A asub sirgel y=−⅓x+3 kohal x=−3 (kontroll: −⅓·(−3)+3 = 1+3 = 4, mis klapib joonisel oleva punktiga A(−3; 4)).
Abstsiss on punkti x-koordinaadi ametlik nimetus (y-koordinaati nimetatakse ordinaadiks). Punkti abstsissi loetakse graafikult otse x-teljelt.
Vastus 6)Punkti A abstsiss on −3
7) Täienda joonist sirgega y = 2x − 3
1
Leia sirge joonistamiseks kaks punkti
kui x=0, siis y = 2·0−3 = −3 → punkt (0; −3)
kui x=1, siis y = 2·1−3 = −1 → punkt (1; −1)
Iga sirge on üheselt määratud kahe punktiga. Kõige lihtsam on valida mugavad x-väärtused (nt 0 ja 1) ning arvutada nende jaoks y.
Vastus 7)Tõmba joon läbi punktide (0; −3) ja (1; −1).
Restoranis käib keskmiselt 1200 klienti kuus, 35% tellib päevaprae hinnaga 8 €. Tooraine kallinemise tõttu kasvavad restorani kulud päevapraadide valmistamisele kokku 168 € kuus.
a) Mitu päevapraadi müüakse keskmiselt kuus?
1
1200 · 0,35 = 420
35% kirjutatakse kümnendmurruna 0,35. Kliendiarvu korrutamine sellega annab päevapraadide arvu.
Vastus a)420 päevapraadi kuus
b) Mitme protsendi võrra tuleb hinda tõsta, et katta 168 € suurune lisakulu?
1
Jaga lisakulu müüdud koguste arvuga
168 ∶ 420 = 0,4 €
Lisakulu jagatakse müüdud koguse peale ära, et leida, kui palju iga üksik müüdav päevapraad peab rohkem sisse tooma.
2
Väljenda see summa protsendina algsest hinnast
0,48 · 100% = 5%
Võrreldakse 0,4 € tõusu algse 8 € hinnaga — jagatakse ja teisendatakse protsendiks.
Vastus b)Hinda tuleb tõsta 5%