9. klassi õppematerjalide töövihik

Üksliige ja hulkliige

Üksliige on arvude ja tähtede korrutis, näiteks 5x², −3ab või lihtsalt 7. Arvu üksliikme ees nimetatakse kordajaks ja tähtede osa tähtosaks.

Hulkliige on üksliikmete summa, näiteks 3x² − 5x + 2. Kahest liikmest koosnevat hulkliiget nimetatakse kaksliikmeks, kolmest liikmest koosnevat kolmliikmeks.

Hulkliige on normaalkujul, kui sarnased liikmed on koondatud ja liikmed on kirjutatud astmete kahanevas järjekorras: kõigepealt x³, siis x², siis x, siis vabaliige.

Sarnased liikmed

Sarnased liikmed on need, millel on täpselt sama tähtosa. Näiteks 4x² ja −9x² on sarnased, aga 4x² ja 4x ei ole. Sarnaseid liikmeid saab kokku liita nii, et kordajad liidetakse ja tähtosa jääb samaks:

4x² − 9x² = (4 − 9)x² = −5x²

Liitmine ja lahutamine

Hulkliikmete liitmisel avatakse sulud märke muutmata ja koondatakse sarnased liikmed. Lahutamisel vahetatakse kõigi lahutatava liikmete märgid:

(3x² + 2x − 1) − (x² − 4x + 6) = 3x² + 2x − 1 − x² + 4x − 6 = 2x² + 6x − 7

Korrutamine

Üksliikmega korrutamisel korrutatakse iga hulkliikme liige: 3x(2x − 5) = 6x² − 15x.

Kahe hulkliikme korrutamisel korrutatakse iga liige esimesest sulust iga liikmega teisest sulust. Kaksliikmete korral tuleb neli korrutist:

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Kontrolli alati liikmete arvu: kaksliige korda kolmliige annab enne koondamist täpselt kuus liiget. Kui neid on vähem, jäi mõni korrutis tegemata.

Teguri sulgudest väljatoomine

See on korrutamisele vastupidine tehe. Otsi kõigi liikmete ühine tegur (suurim ühine kordaja ja madalaima astmega ühine täht) ning too see sulgude ette:

12x³ − 18x² = 6x²(2x − 3)

Kontroll on lihtne: korruta sulg tagasi lahti ja pead saama algse avaldise.

Korrutamise abivalemid

Korrutamise abivalemid on kolm valemit, mis lubavad teatud korrutised kirja panna kohe, ilma nelja korrutist tegemata:

(a + b)² = a² + 2ab + b² (a − b)² = a² − 2ab + b² (a − b)(a + b) = a² − b²

Esimest kahte nimetatakse summa ja vahe ruuduks, kolmandat ruutude vaheks. Pane tähele: ruudu valemis on kolm liiget ja keskmine liige on kahekordne korrutis. Ruutude vahes keskmist liiget ei ole — see taandub välja.

Abivalemid teises suunas: tegurdamine

Abivalemeid loetakse ka paremalt vasakule. Siis muutub summa korrutiseks — seda nimetatakse teguriteks lahutamiseks ehk tegurdamiseks:

x² − 25 = x² − 5² = (x − 5)(x + 5) x² + 6x + 9 = x² + 2 · x · 3 + 3² = (x + 3)²

Ruutude vahena saab tegurdada ainult siis, kui mõlemad liikmed on ruudud ja nende vahel on miinus. Summat x² + 25 põhikooli vahenditega tegurdada ei saa.

Võrrandi põhiomadused

Võrrand on võrdus, milles on tundmatu. Võrrandi lahend on see tundmatu väärtus, mille korral võrdus muutub õigeks. Võrrandit võib ette kujutada kaalukausina: mõlemal pool on sama raske asi.

Sellest tuleneb kaks põhiomadust, mis lubavad võrrandit ümber kujundada nii, et lahend ei muutu:

• võrrandi mõlemale poolele võib liita või lahutada sama arvu või avaldise;
• võrrandi mõlemat poolt võib korrutada või jagada sama nullist erineva arvuga.

Lineaarvõrrandi lahendamise järjekord

Lineaarvõrrand on võrrand, kus tundmatu on ainult esimeses astmes, näiteks 3x + 5 = 20. Lahendamiseks tee sammud alati samas järjekorras:

1. vabane murdudest (korruta läbi ühise nimetajaga) ja ava sulud;
2. vii tundmatuga liikmed ühele poole, arvud teisele poole;
3. koonda sarnased liikmed;
4. jaga kordajaga.

Murdudega võrrand

Murrud on ebamugavad, aga nendest saab ühe sammuga lahti: leia nimetajate vähim ühiskordne ja korruta sellega läbi kogu võrrand — iga liige mõlemal pool.

x + 12 + x − 34 = 5   | · 4 2(x + 1) + (x − 3) = 20

Kõige sagedasem viga murdudega võrrandis on unustada korrutada see liige, millel murdu ei olnud. Siin oli selleks parema poole 5, millest sai 20.

Kahe tundmatuga võrrandisüsteem

Kui tundmatuid on kaks, on ka võrrandeid vaja kaks. Sellist paari nimetatakse võrrandisüsteemiks. Süsteemi lahend on arvupaar (x; y), mis sobib korraga mõlemasse võrrandisse.

Asendusvõte

Avalda ühest võrrandist üks tundmatu teise kaudu ja aseta see teise võrrandisse. Nii jääb alles üks võrrand ühe tundmatuga. Asendusvõte on mugav siis, kui mõne tundmatu kordaja on 1 või −1.

Liitmisvõte

Korruta võrrandeid nii, et ühe tundmatu kordajad muutuksid vastandarvudeks, ja liida võrrandid liikmeti kokku. See tundmatu kaob ja alles jääb üks võrrand ühe tundmatuga. Liitmisvõte on mugav siis, kui tundmatud on juba mõlemas võrrandis korralikult ritta seatud.

Mida süsteem tähendab graafiliselt?

Iga kahe tundmatuga lineaarvõrrand kujutab tasandil sirget. Süsteemi lahendamine tähendab kahe sirge lõikepunkti otsimist. Sellest tulenevad kolm võimalikku tulemust.

Tekstülesandest võrrandini

Tekstülesande lahendamine käib alati sama teed: 1) tähista tundmatu (või kaks tundmatut) ja kirjuta üles, mida täht tähendab; 2) pane iga lause kohta kirja üks võrrand; 3) lahenda; 4) kontrolli, kas vastus sobib ülesande mõttega, mitte ainult võrrandiga. Kaks tundmatut nõuavad kahte sõltumatut lauset — üks lause annab ainult ühe võrrandi.

Täisnurkse kolmnurga küljed

Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on 90°. Selle kolmnurga küljed on nimetatud eri moodi:

• kaatetid — kaks lühemat külge, mis moodustavad täisnurga;
• hüpotenuus — täisnurga vastas asuv külg, alati kolmnurga kõige pikem külg.

Kaatetid tähistatakse tavaliselt a ja b, hüpotenuus c.

Pythagorase teoreem

Pythagorase teoreem ütleb: täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusi ruut võrdne kaatetite ruutude summaga.

c² = a² + b²

Teoreem seob kolm külge nii, et kahest teadaolevast küljest saab alati leida kolmanda. Kaateti leidmiseks kirjutatakse valem ümber:

a² = c² − b²    ehk    a = c² − b²

Pöördteoreem — kas kolmnurk on täisnurkne?

Kehtib ka vastupidine väide, Pythagorase pöördteoreem: kui kolmnurga külgede kohta kehtib c² = a² + b², kus c on pikim külg, siis on see kolmnurk täisnurkne.

Nii saab ainult arvutades kontrollida, kas nurk on täisnurk. Ehitajad kasutavad seda iga päev: kui kolmnurga küljed on 3 : 4 : 5 (näiteks 3 m, 4 m ja 5 m), on nurk garanteeritult täisnurk.

Pindalad

Kõigi nende valemite juures tähendab h kõrgust — ristlõiku alusest vastastipuni või vastasküljeni. Kõrgus ei ole külg, kui kujund on kaldu.

Nurgad kolmnurgas ja hulknurgas

Kolmnurga sisenurkade summa on alati 180°, olenemata kolmnurga kujust. Seega täisnurkses kolmnurgas on kahe teravnurga summa 90°.

Välisnurk on nurk sisenurga ja külje pikenduse vahel. Iga välisnurk võrdub kahe temaga mittelähedase sisenurga summaga — ja koos oma sisenurgaga annab ta 180°.

Hulknurga sisenurkade summa leitakse valemiga, kus n on tippude arv:

S_sisenurgad = (n − 2) · 180°

Valemi mõte on lihtne: iga hulknurga saab tippudest tõmmatud diagonaalidega jaotada n − 2 kolmnurgaks. Nelinurgas on see 2 · 180° = 360°, viisnurgas 3 · 180° = 540°, kuusnurgas 4 · 180° = 720°. Korrapärase hulknurga üks sisenurk saadakse, kui kogu summa jagada tippude arvuga — korrapärases kuusnurgas 720° ∶ 6 = 120°.

Sarnased kujundid

Kaks kujundit on sarnased, kui neil on sama kuju, aga erinev suurus. Sarnastel hulknurkadel on vastavad nurgad võrdsed ja vastavad küljed võrdelised. Kordajat, mitu korda üks kujund on teisest suurem, nimetatakse sarnasusteguriks ja tähistatakse k.

k = a₁a = b₁b = c₁c

Kõik kolm suhet peavad andma sama arvu — see ongi sarnasuse tuum. Nurgad seejuures ei muutu: suurendamine ei tee nurka laiemaks.

Kolmnurkade sarnasuse tunnused

Kolmnurkade puhul ei ole vaja kõike kontrollida — piisab ühest kolmest tunnusest:

• NN (nurk-nurk) — kaks nurka ühes kolmnurgas võrduvad kahe nurgaga teises;
• KNK (külg-nurk-külg) — kaks külge on võrdelised ja nendevahelised nurgad võrdsed;
• KKK (külg-külg-külg) — kõik kolm külgede paari on võrdelised.

Kõige sagedamini kasutatakse NN-tunnust, sest kolmandat nurka pole vaja kontrollida: kui kaks nurka on võrdsed, on ka kolmas võrdne (sisenurkade summa on ju alati 180°).

Sarnaste kujundite pindalad

Siin peitub peatüki kõige olulisem tähelepanek. Kui pikkused kasvavad k korda, siis pindalad kasvavad k² korda:

S₁S = k²

Kaks korda suurem koopia ei ole kaks, vaid neli korda suurema pindalaga. Põhjus on lihtne: pindala arvutamiseks korrutatakse kaks pikkust ja mõlemad neist kasvavad k korda.

Mõõtkava

Mõõtkava ütleb, mitu korda on kaardil või plaanil olev kujutis tegelikkusest väiksem. Mõõtkava 1 ∶ 25 000 tähendab: 1 cm kaardil vastab 25 000 cm-le looduses.

tegelik pikkus = kaardil mõõdetud pikkus · mõõtkava nimetaja

Vastupidises suunas jagatakse. Peaaegu alati tuleb lõpuks ühikuid teisendada, sest 25 000 cm ei ole inimlik vastus:

1 m = 100 cm    1 km = 1000 m = 100 000 cm

Protsendi kolm põhiülesannet

Protsent on sajandik osa tervikust: 1% = 0,01. Kõik protsendiülesanded taanduvad kolmele tüübile.

Kolmas tüüp on kõige petlikum: alati tuleb küsida, millest protsenti võetakse. „21 arvust 60“ ja „60 arvust 21“ annavad täiesti erineva vastuse.

Kasv, kahanemine ja allahindlus

Kui suurus kasvab p protsenti, korrutatakse ta arvuga 1 + p ∶ 100; kui kahaneb, siis arvuga 1 − p ∶ 100.

uus = vana · (1 + p100)    uus = vana · (1 − p100)

25% allahindlus tähendab, et maksma jääb 75% ehk hinda korrutatakse arvuga 0,75. See on kiirem kui allahindluse eraldi arvutamine ja mahaarvamine.

Mis on ruutjuur?

Ruutjuure võtmine on ruutu võtmise pöördtehe. Kui ruutu võttes küsid „mis saab arvust 7, kui ta iseendaga korrutada?“, siis ruutjuurt võttes küsid vastupidi: „millise arvu ruut on 49?“.

Sõna „mittenegatiivne“ on definitsioonis kaks korda ja mõlemal korral olulisel põhjusel. Vaatame neid ükshaaval.

Miks negatiivsest arvust ruutjuurt ei ole?

Otsime arvu, mille ruut on −9. Positiivse arvu ruut on positiivne (3² = 9), negatiivse arvu ruut on samuti positiivne ((−3)² = 9) ja nulli ruut on null. Ükski reaalarv ruudus ei anna negatiivset tulemust, seega −9 ei ole reaalarvude hulgas määratud. Taskuarvuti annab siin veateate — see ei ole rike, vaid õige vastus.

Miks on ruutjuur alati mittenegatiivne?

Arvu 49 ruuduks annavad nii 7 kui ka −7. Kui 49 tähendaks korraga mõlemat, ei oleks tegemist ühese tehtega ja iga avaldis muutuks mitmemõtteliseks. Seepärast on kokku lepitud: ruutjuure märk annab alati ainult mittenegatiivse väärtuse. Seega 49 = 7, mitte ±7. Kaks vastust tekivad alles siis, kui lahendad võrrandit x² = 49 — sellest tuleb juttu allpool.

Täisruudud, mis tuleb peast teada

Täisruut on täisarvu ruut. Kui need viisteist arvu on peas, kaob suur osa ruutjuureülesannete tööst ära.

Sama tabelit loed ka paremalt vasakule: 144 = 12, 225 = 15. Kümnendmurdude ja harilike murdude juured saad samast tabelist: 0,49 = 0,7 (sest 0,7² = 0,49) ja 916 = 34.

Ruutjuur korrutisest ja jagatisest

Kaks omadust, mis teevad kogu ülejäänud peatüki võimalikuks:

a · b = a · b    ab = ab

Esimene kehtib, kui a ≥ 0 ja b ≥ 0; teine sama juures, kuid b > 0 (nulliga ei jagata). Mõlemat tohib lugeda mõlemat pidi: juure võib korrutise peale „laiali jagada“ ja mitu juurt võib ühe juure alla kokku koguda.

Teguri toomine juure alt välja

Kui juurialuses arvus peitub täisruut, saab selle juure alt välja tuua ja avaldise lühemaks kirjutada. Otsi alati suurimat täisruut-tegurit — muidu jääb töö pooleli.

Näited: 72 = 36 · 2 = 62 ja 200 = 100 · 2 = 102. Sellisel kujul näed kohe, et 72 ja 200 on sarnased liikmed — mõlemas on sama juur 2, seega neid saab liita ja lahutada nagu 6x ja 10x.

Ligikaudne väärtus

Kui juurialune arv ei ole täisruut, on ruutjuur lõpmatu mitteperioodiline kümnendmurd — irratsionaalarv. Täpne vastus kirjutatakse juurekujul (52), ligikaudne taskuarvutiga: 2 ≈ 1,414, 3 ≈ 1,732, 5 ≈ 2,236.

Juur ruudust: a² = |a|

Ruutu võtmine ja juurimine on pöördtehted, aga ainult mittenegatiivsete arvude jaoks. Kui a on negatiivne, kaotab ruutu võtmine miinusmärgi ja juurimine ei too seda tagasi.

Absoluutväärtus |a| tähendab arvu kaugust nullist, seega alati mittenegatiivset arvu: |5| = 5 ja |−5| = 5. Nii et (−5)² = |−5| = 5.

Millal on ruutvõrrand mittetäielik?

Ruutvõrrandi normaalkuju on ax² + bx + c = 0, kus a ≠ 0. Kordaja a ei tohi kunagi olla null — siis kaoks ruutliige ära ja võrrand ei oleks enam ruutvõrrand. Kordajad b ja c aga tohivad olla nullid.

Mittetäielik ruutvõrrand on ruutvõrrand, milles kordaja b või c (või mõlemad) on null. Neid on kolme liiki:

Ühtegi neist ei ole vaja lahendivalemiga lahendada. Lahendivalem küll töötab, aga see on nagu ekskavaatoriga lillepotti ümber istutamine: pikk, tüütu ja täis kohti, kus eksida. Iga liigi jaoks on lühem tee.

Liik 1: ax² = 0

Näiteks 5x² = 0. Jaga mõlemad pooled arvuga 5 (see on lubatud, sest a ≠ 0) ja saad x² = 0. Ainus arv, mille ruut on null, on null ise.

ax² = 0  ⟹  x = 0  (üks lahend)

Liik 2: ax² + bx = 0 — tegurdamine

Mõlemas liikmes on x. Too see sulgude ette:

ax² + bx = x(ax + b) = 0

Nüüd tuleb mängu peatüki tähtsaim reegel.

Seega x(ax + b) = 0 laguneb kaheks lihtsaks võrrandiks: x = 0 või ax + b = 0, millest teine annab x = −ba. Selle liigi puhul on üks lahend alati null — see on tasuta lahend, mille saad kohe kirja panna.

Liik 3: ax² + c = 0 — juurimine

Siin ei ole x-i esimeses astmes. Vii vabaliige teisele poole ja jaga a-ga:

ax² = −c  ⟹  x² = −ca

Nüüd otsustab parema poole märk:

• kui parem pool on positiivne → kaks vastandarvulist lahendit x = ±−c/a;
• kui parem pool on negatiivne → lahendeid ei ole, sest ükski arv ruudus ei anna negatiivset tulemust;
• kui parem pool on null → tegemist ongi liigiga 1 ja lahend on x = 0.

Tähelepanu: kordajate a ja c märgid peavad olema erinevad, et lahendid oleksid olemas. Võrrandil 3x² + 27 = 0 lahendeid ei ole (mõlemad positiivsed), võrrandil 3x² − 27 = 0 on lahendid ±3.

Enne lahendamist: normaalkuju

Mittetäielik ruutvõrrand ei pruugi olla kohe äratuntav. Sulgudega, murdudega või mõlemal pool tundmatut sisaldav võrrand tuleb kõigepealt korrastada: ava sulud, vii kõik ühele poole, liida sarnased liikmed. Alles siis vaata, milline kordaja on kadunud.

Mis on täielik ruutvõrrand?

Ruutvõrrand on võrrand, kus tundmatu x kõrgeim aste on kaks. Kui võrrandis on olemas kõik kolm liiget — ruutliige, lineaarliige ja vabaliige — nimetatakse võrrandit täielikuks ruutvõrrandiks.

Enne lahendamist tuleb võrrand alati viia normaalkujule: kõik liikmed ühele poole, null teisele poole, liikmed astmete kahanevas järjekorras.

ax² + bx + c = 0,  kus a ≠ 0

Arve a, b ja c nimetatakse kordajateks. Näiteks võrrandis 2x² − 7x + 3 = 0 on a = 2, b = −7 ja c = 3.

Diskriminant — võrrandi „ilmateade“

Enne lahendite arvutamist leitakse diskriminant D. See on üks arv, mis ütleb ette, mitu lahendit võrrandil üldse on. Sõna diskriminant tuleb ladina keelest ja tähendab „eristajat“ — see eristab kolme võimalikku olukorda.

D = b² − 4ac

Lahendivalem

Kui D ≥ 0, leitakse lahendid lahendivalemiga:

x_1,2 = −b ± D2a

Märk „±“ tähendab, et arvutus tehakse kaks korda: üks kord plussiga (x₁) ja teine kord miinusega (x₂).

Lahenduskäigu kindel järjekord

Taandatud ruutvõrrand ja Viète'i teoreem

Kui a = 1, nimetatakse võrrandit taandatud ruutvõrrandiks: x² + px + q = 0. Sellisel juhul kehtib Viète'i teoreem, mis annab kiire võimaluse lahendid ära arvata või juba leitud lahendeid kontrollida.

x₁ + x₂ = −p   ja   x₁ · x₂ = q

Mis on ruutkolmliige?

Ruutkolmliige on avaldis kujul ax² + bx + c, kus a ≠ 0. Pane tähele erinevust: võrrandis on võrdusmärk ja lahendatakse, kolmliige on lihtsalt avaldis ja seda teisendatakse. Aga need kaks on omavahel tihedalt seotud — just see seos ongi selle peatüki sisu.

Tegurdamine tähendab summa kirjutamist korrutisena. Näiteks x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Miks seda vaja on? Sest korrutisega saab teha asju, mida summaga ei saa: taandada murdu, lahendada võrrandit nulliga korrutise reegli abil, lihtsustada avaldist.

Tegurdamise valem

Ruutkolmliikme saab tegurdada, kui tead vastava ruutvõrrandi lahendeid.

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

kus x₁ ja x₂ on võrrandi ax² + bx + c = 0 lahendid. Töökäik on seega alati sama: võrdsusta nulliga → lahenda → kirjuta tegurid.

Kui D < 0

Kui diskriminant on negatiivne, ei ole vastaval võrrandil lahendeid ja kolmliiget ei saa reaalarvude hulgas tegurdada. Näiteks x² + x + 1: D = 1 − 4 = −3 < 0. See avaldis jääbki summaks. Vastus „tegurdada ei saa“ on täisväärtuslik vastus.

Viète'i teoreem

Taandatud ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille ruutliikme kordaja on 1: x² + px + q = 0. Sellise võrrandi lahendite ja kordajate vahel kehtib lihtne seos, mille avastas prantsuse matemaatik François Viète.

Lahendite arvamine peast

Võrrandis x² − 7x + 12 = 0 on p = −7 ja q = 12. Otsi kaks arvu, mille summa on 7 ja korrutis 12. Alusta korrutisest, sest korrutise variante on vähem: 12 = 1 · 12 = 2 · 6 = 3 · 4. Neist ainult 3 + 4 = 7. Lahendid ongi 3 ja 4 — diskriminanti ei olnud vaja arvutada.

Märkidega on nii: kui q > 0, on mõlemad lahendid sama märgiga (summa märk ütleb, kumma); kui q < 0, on lahendid eri märkidega.

Kus tegurdamist kasutatakse: murru taandamine

Algebraline murd on murd, mille lugejas või nimetajas on muutuja. Taandada saab ainult ühiseid tegureid, mitte liidetavaid. Seepärast tuleb enne taandamist lugeja ja nimetaja tegurdada.

x² − 4x² + x − 6 = (x − 2)(x + 2)(x − 2)(x + 3) = x + 2x + 3

Taandamisel tuleb alati märkida, milliste x väärtuste korral murd ei ole määratud — nimetaja ei tohi olla null. Selles näites x ≠ 2 ja x ≠ −3.

Kolm valemit, mis kiirendavad tegurdamist ja mida tasub ära tunda: a² − b² = (a − b)(a + b), a² + 2ab + b² = (a + b)² ja a² − 2ab + b² = (a − b)². Kui valem ei sobi, töötab lahendite kaudu tegurdamine alati.

Mis on algebraline murd?

Algebraline murd on murd, mille lugejas või nimetajas on muutujaga avaldis. Näiteks x + 2x − 3, 5x ja a² − b²a + b on kõik algebralised murrud.

Ülemist avaldist nimetatakse lugejaks, alumist nimetajaks. Murrujoon tähendab jagamist: murd AB tähendab „A jagatud B-ga“. Just sellest tuleneb kogu peatüki kõige olulisem piirang.

Lubatavad väärtused ehk millal murd üldse eksisteerib

Nulliga jagada ei tohi. Seepärast peab algebralise murru nimetaja olema nullist erinev. Muutuja väärtusi, mille korral murd on olemas, nimetatakse lubatavateks väärtusteks.

Lubatavad väärtused leitakse alati ühtemoodi: võta ainult nimetaja, pane see nulliga võrduma, lahenda saadud võrrand — ja just need lahendid ei ole lubatud.

x + 1x² − 4x  ⟹  x² − 4x = 0  ⟹  x(x − 4) = 0  ⟹  x ≠ 0 ja x ≠ 4

Murru põhiomadus

Kogu peatükk tugineb ühele lausele, mida nimetatakse murru põhiomaduseks: kui lugejat ja nimetajat korrutada sama nullist erineva avaldisega, murru väärtus ei muutu.

AB = A · CB · C,  kus B ≠ 0 ja C ≠ 0

Seda võrdust saab lugeda kahes suunas. Vasakult paremale on see laiendamine (mõlemad korrutatakse läbi), paremalt vasakule taandamine (mõlemad jagatakse läbi). Sama asi, kaks suunda.

Taandamine: ainult tegureid!

Taandada tohib ainult tegureid, mitte liidetavaid. See on selle peatüki kõige tähtsam lause ja ühtlasi koht, kus 9. klassis tehakse kõige rohkem vigu.

Tegur on avaldise osa, mis on ülejäänud osaga seotud korrutamise teel. Liidetav on osa, mis on seotud plussi või miinusega. Murrujoone kohal ja all peab enne taandamist olema üks korrutis — alles siis tohib ühise teguri maha tõmmata.

Tegurdamine on taandamise eeldus

Enne taandamist tuleb lugeja ja nimetaja peaaegu alati kõigepealt tegurdada. Põhikoolis piisab kolmest võttest.

Ruutkolmliikme tegurdamiseks lahendatakse esmalt võrrand ax² + bx + c = 0 ja kasutatakse siis valemit:

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Taandamise kindel järjekord

Laiendamine ja ühine nimetaja

Laiendamine tähendab lugeja ja nimetaja korrutamist sama nullist erineva avaldisega. Laiendamist läheb vaja siis, kui murde tahetakse liita või lahutada — selleks peavad nende nimetajad olema ühesugused.

Kui on antud, milliseks nimetaja peab saama, leitakse lisategur jagamise teel: uus nimetaja jagatud vana nimetajaga. Näiteks murru 3x − 2 laiendamiseks nimetajani x² − 4 märkame, et x² − 4 = (x − 2)(x + 2), seega lisategur on (x + 2).

3x − 2 = 3(x + 2)(x − 2)(x + 2) = 3x + 6x² − 4

Murru märgireeglid

Murrul on kolm märgikohta: lugeja ees, nimetaja ees ja kogu murru ees. Ühe miinuse võib nende vahel vabalt ümber tõsta.

−ab = a−b = −ab    ja    −a−b = ab

Sellest tuleneb ka üks väga kasulik võte: a − b = −(b − a). Kaks vastupidises järjekorras vahet erinevad ainult märgi poolest.

Sama loogika mis arvmurdudega

Algebraliste murdudega tehakse tehteid täpselt samade reeglite järgi nagu tavaliste arvmurdudega. Kui oskad kokku liita 23 ja 16, oskad liita ka 2x ja 12x. Ainus lisatöö on see, et nimetajad tuleb enne tegurdada ja lõpuks tuleb vastus taandada.

Ka siin kehtib eelmise peatüki reegel: enne iga ülesannet kirjuta välja lubatavad väärtused — kõik need muutuja väärtused, mille korral ükski nimetaja ei ole null.

Liitmine ja lahutamine ühise nimetajaga

Kui nimetajad on juba ühesugused, on tehe lihtne: nimetaja jääb samaks, lugejad liidetakse või lahutatakse.

ac + bc = a + bc    ac − bc = a − bc

Nimetajat ei liideta kunagi kokku. Nimetaja näitab, mitmeks osaks tervik on jagatud — kui liita kaks kaheksandikku, ei muutu osade suurus, muutub ainult osade arv.

Lahutamisel läheb kogu lugeja sulgudesse

Lahutamisel muudavad märki kõik lahutatava lugeja liikmed, mitte ainult esimene. Kõige kindlam viis seda mitte unustada on kirjutada lahutatav lugeja alati sulgudesse ja alles siis sulud avada.

Vähima ühise nimetaja leidmine

Kui nimetajad on erinevad, tuleb murrud enne liitmist laiendada ühise nimetajani. Vähim ühine nimetaja (VÜN) leitakse kolme sammuga:

1. tegurda kõik nimetajad;
2. kirjuta välja kõik erinevad tegurid, mis kuskil esinevad;
3. võta iga tegur nii suure astmega, nagu ta kõige rohkem kuskil esineb.

Näiteks nimetajate 6x² ja 4x puhul: arvude 6 ja 4 vähim ühiskordne on 12, muutuja kõrgeim aste on x², seega VÜN on 12x². Ja nimetajate x² − 9 = (x − 3)(x + 3) ning x + 3 puhul on VÜN (x − 3)(x + 3) — teist sulgu ei pea juurde võtma, sest see on juba olemas.

Korrutamine

Korrutamine on kõige lihtsam tehe: lugeja korrutatakse lugejaga ja nimetaja nimetajaga. Ühist nimetajat ei ole vaja.

ab · cd = a · cb · d

Nutikas õpilane ei korruta kõigepealt läbi. Tegurda kõik lugejad ja nimetajad, kirjuta üks suur murd ja taanda alles siis. Nii jäävad avaldised väikeseks ja vigu tuleb vähem.

Jagamine

Murruga jagamine tähendab pöördmurruga korrutamist: teine murd keeratakse tagurpidi ja jagamismärk muutub korrutamismärgiks.

ab ∶ cd = ab · dc = a · db · c

Kahetehteline avaldis ja tehete järjekord

Kui avaldises on mitu tehet, kehtib tavaline järjekord:

Kahetehtelises ülesandes tehakse sulgudes olev liitmine või lahutamine täiesti lõpuni — kuni sulgudes on üks murd — ja alles siis asutakse korrutama või jagama.

Mis on ruutfunktsioon?

Ruutfunktsioon on funktsioon, mille avaldises on tundmatu kõrgeim aste kaks:

y = ax² + bx + c,  kus a ≠ 0

Arvud a, b ja c on kordajad — täpselt samad kordajad, mida sa juba tunned ruutvõrrandist. Tingimus a ≠ 0 on oluline: kui a oleks null, kaoks ruutliige ära ja alles jääks lineaarfunktsioon, mille graafik on sirge.

Ruutfunktsiooni graafikut nimetatakse parabooliks. Parabool ei ole „kaks kokkupandud sirget“ ega ring — see on sujuv, sümmeetriline joon, mille ühes otsas on pöördepunkt ja mille kaks haru lähevad sealt kummalegi poole ühtviisi üles (või alla). Paraboole näed argielus iga päev: vett pritsiva voolikujuga, visatud palli lennujoon, satelliidiantenni läbilõige.

Kordaja a — harude suund ja parabooli laius

Kõige tähtsam kordaja on a. See otsustab kaks asja korraga.

• a märk ütleb, kummale poole harud avanevad. Kui a > 0, avaneb parabool ülespoole (kujult nagu naeratus või tass). Kui a < 0, avaneb parabool allapoole (nagu kulm või vihmavari).
• a absoluutväärtus ütleb, kui kitsas parabool on. Mida suurem on |a|, seda kitsam ja järsem on parabool. Mida lähemal on |a| nullile, seda laiemaks parabool venib.

Vabaliige c — kust graafik läbib y-telge

y-teljel on alati x = 0. Asendame nulli funktsiooni avaldisse:

y = a · 0² + b · 0 + c = c

Parabool lõikab y-telge alati punktis (0; c). See on kõige kiirem punkt, mille saad graafikult lugeda või graafikule kanda — mingit arvutamist ei ole vaja, vabaliige ongi vastus.

Nullkohad — kus parabool lõikab x-telge

Nullkoht on selline x-i väärtus, mille korral funktsiooni väärtus on null. Kuna x-teljel on y = 0, tähendab nullkoha otsimine ruutvõrrandi lahendamist:

ax² + bx + c = 0

Seega on ruutfunktsiooni nullkohad täpselt samad arvud, mis on vastava ruutvõrrandi lahendid. Ja siit tuleb ka diskriminandi tähendus graafikul:

Haripunkt ja sümmeetriatelg

Haripunkt on parabooli pöördepunkt — kõige madalam punkt, kui harud on üles, ja kõige kõrgem punkt, kui harud on alla. Selle esimese koordinaadi leiad valemiga:

x₀ = −b2a

Teist koordinaati ei ole vaja pähe õppida: y₀ saad alati nii, et asendad leitud x₀ funktsiooni avaldisse tagasi.

y₀ = f(x₀) = ax₀² + bx₀ + c

Läbi haripunkti tõmmatud püstsirge x = x₀ on parabooli sümmeetriatelg. Parabool on selle telje suhtes peegelsümmeetriline: kui lõikaksid joonise mööda seda sirget pooleks ja voldiksid kokku, kattuksid pooled täpselt. Sellest järeldub kaks kasulikku asja:

• Kui nullkohad on olemas, asub haripunkt täpselt nende keskel: x₀ = (x₁ + x₂) ∶ 2. See on kiire kontroll.
• Iga arvutatud punkti kohta saad tasuta veel ühe — selle peegelpildi teisel pool sümmeetriatelge.

Graafiku joonestamine sammhaaval

Parabooli ei joonestata kunagi „vabalt käelt“. Töökäik on alati sama:

1. Kirjuta välja a, b ja c koos märkidega ning otsusta harude suund.
2. Leia haripunkt x₀ = −b ∶ (2a) ja y₀ = f(x₀), märgi see telgedele.
3. Leia nullkohad (lahenda ruutvõrrand). Kui D < 0, jäta see samm vahele.
4. Märgi punkt (0; c) ehk lõikepunkt y-teljega.
5. Arvuta veel 2–3 punkti haripunktist paremal ja peegelda need sümmeetriateljest vasakule.
6. Ühenda punktid sujuva kõveraga. Haripunkti juures on parabool ümar, mitte terav nurk.

Funktsiooni suurim ja vähim väärtus

Haripunkt ei ole ainult joonestamise abivahend — see annab vastuse ka küsimusele „kui suur saab tulemus üldse olla?“.

• Kui a > 0, on haripunkt kõige madalam koht. Funktsioonil on vähim väärtus y₀ ja suurimat väärtust ei ole (harud lähevad lõputult üles).
• Kui a < 0, on haripunkt kõige kõrgem koht. Funktsioonil on suurim väärtus y₀ ja vähimat väärtust ei ole.

Just seepärast lahendatakse parabooli abil praktilisi „kõige suurema“ ja „kõige väiksema“ ülesandeid: millal lendab pall kõige kõrgemale, millise kujuga aed annab kõige suurema pindala, millise hinnaga on tulu suurim.

Miks tekstülesanne tundub raskem kui võrrand?

Ruutvõrrandi lahendamise oskad juba ära: kordajad, diskriminant, lahendivalem. Tekstülesandes on see kõik ainult üks samm keskel. Raske osa on enne ja pärast — teha tavalisest jutust võrrand ja teha võrrandi lahenditest sisukas vastus.

Hea uudis: see osa käib alati sama skeemi järgi. Kui õpid järjekorra selgeks ja teed sammud kirjalikult (mitte peast), muutub enamik tekstülesandeid rutiiniks.

Lahendamise seitse sammu

Samm 2 ja 3 — kõige tähtsam otsus

Tundmatuks võta reeglina see suurus, mille kaudu teised on kõige lihtsam kirja panna. Tavaliselt on see väiksem või „algne“ suurus.

• „Pikkus on 7 cm suurem kui laius“ → olgu x laius, siis pikkus on x + 7.
• „Kaks järjestikust naturaalarvu“ → olgu x väiksem arv, siis suurem on x + 1.
• „Kolm õpilast jäi tulemata“ → olgu x algne arv, siis tulijaid oli x − 3.
• „Paat sõidab vastuvoolu“ → olgu x paadi kiirus vaikses vees, siis vastuvoolu kiirus on x − v_jõgi ja allavoolu x + v_jõgi.

Ülesande tekstis on alati täpselt üks lause, millest saab võrrandi — see, kus on antud mingi arvuline tulemus (pindala, kogusumma, koguaeg). Kõik ülejäänud laused on selleks, et suurusi x-i kaudu väljendada.

Tüüpilised ülesandetüübid

Kõigis neis tüüpides tekib ruutvõrrand ühel kahel viisil: kas korrutatakse kaks x-i sisaldavat avaldist (pindala, arvude korrutis) või liidetakse kaks murdu, mille nimetajas on x (aeg, tootlikkus, hind ühe kohta). Teisel juhul korruta võrrand nimetajatega läbi — siis kaovad murrud ja alles jääb tavaline ruutvõrrand.

Samm 6 — miks kontroll on kohustuslik

Ruutvõrrandil on tavaliselt kaks lahendit, aga ülesandel ei pea olema kahte vastust. Võrrand ei tea midagi sellest, et külje pikkus ei saa olla negatiivne, et õpilasi ei saa olla 12,5 ja et aeg ei kulge tagurpidi. Selle otsuse pead tegema sina.

Samm 7 — vastuse vormistamine

Vastus kirjutatakse täislausega ja koos ühikutega: „Ristküliku laius on 5 m ja pikkus 8 m.“ Mitte „x = 5“. Kui ülesandes oli mitu küsimust, vasta neile kõigile — ka siis, kui vastus tuleb ühest ja samast arvutusest.

Küljed saavad nurga suhtes nime

Täisnurkses kolmnurgas on kolm külge. Kõige pikem külg, mis asub täisnurga vastas, on hüpotenuus. Ülejäänud kaks külge on kaatetid. Seni piisas sellest — Pythagorase teoreemis on ju ükskõik, kumb kaatet on kumb.

Trigonomeetrias enam ei piisa. Nüüd vaatame kolmnurka ühe kindla teravnurga silmade läbi. Selle nurga jaoks jaguneb kaks kaatetit kaheks eri rolliks:

• Vastaskaatet — kaatet, mis asub vaadeldava nurga vastas, ehk ei puuduta seda nurka.
• Lähiskaatet — kaatet, mis algab vaadeldavast nurgast ja on selle üks haaradest.

Sama külg on ühe teravnurga jaoks vastaskaatet ja teise jaoks lähiskaatet — nimi sõltub sellest, millist nurka parajasti vaatad. Hüpotenuus jääb alati hüpotenuusiks.

Kolm suhet

Nurga suurust saab kirjeldada kahe külje suhtega. Kolm kõige kasulikumat suhet on saanud oma nime:

sin α = vastaskaatethüpotenuus   cos α = lähiskaatethüpotenuus   tan α = vastaskaatetlähiskaatet

Tähistuste keeles: sin α = ac, cos α = bc, tan α = ab. Sõnad siinus, koosinus ja tangens on lihtsalt nende kolme jagatise nimed — midagi salapärast neis ei ole.

Miks väärtus ei sõltu kolmnurga suurusest?

Kui kaks täisnurkset kolmnurka on sama teravnurgaga, siis on nad sarnased: nende nurgad on paarikaupa võrdsed. Sarnastes kolmnurkades on vastavate külgede suhted võrdsed. Seega annab suhe vastaskaatet ∶ hüpotenuus mõlemas kolmnurgas täpselt sama arvu.

See ongi kogu trigonomeetria vundament: sin 40° on üks kindel arv, ükskõik kui suure või väikese kolmnurga sa joonistad. Seepärast saab need arvud tabelisse panna või taskuarvutisse programmeerida.

Taskuarvuti: väärtus ja pöördtehe

Kui tead nurka ja tahad suhte väärtust, vajuta sin, cos või tan ja sisesta nurk. Näiteks sin 40° ≈ 0,64.

Kui tead suhet ja tahad nurka, vajad pöördtehet: sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ (taskuarvutil tavaliselt SHIFT või 2nd + sin). Näiteks kui sin α = 0,6, siis α = sin⁻¹ 0,6 ≈ 36,9°.

Erinurgad 30°, 45° ja 60°

Kolme nurga väärtused tasub peas hoida — need tulevad ülesannetes pidevalt ette ja aitavad taskuarvuti vastust kohe kontrollida.

Täisnurkse kolmnurga lahendamine

Kolmnurga lahendamine tähendab: leia kõik puuduvad küljed ja nurgad. Täisnurkses kolmnurgas piisab selleks kahest antud suurusest (millest vähemalt üks on külg). Tööriistad on kolm:

• Pythagorase teoreem a² + b² = c² — kui tead kahte külge ja otsid kolmandat;
• sin, cos, tan — kui mängus on nurk;
• nurkade summa: α + β = 90°, sest kolmnurga nurkade summa on 180° ja üks nurk on juba 90°.

Valemi valik käib ühe küsimusega: millised kolm suurust on mängus — kaks kaatetit (tangens), vastaskaatet ja hüpotenuus (siinus) või lähiskaatet ja hüpotenuus (koosinus)?

Kus seda päriselt vaja läheb

Kalle. Tee või katuse kallet antakse sageli protsentides. Kalle 8% tähendab, et 100 m kohta tõustakse 8 m, seega tan α = 0,08 ja α ≈ 4,6°. Ratastooli kaldtee norm on umbes 1 ∶ 12, mis annab tan α ≈ 0,083 ehk ligikaudu 4,8°.

Kõrguse mõõtmine. Torni, puu või lipuvarda kõrguse leiab, kui mõõta kaugus objektist ja nurk, mille all tippu nähakse. Sama meetodit kasutavad maamõõtjad ja ehitajad iga päev.

Ringjoon ja ring — kaks eri asja

Ringjoon on joon: kõik punktid, mis asuvad keskpunktist ühesugusel kaugusel. Sellel on pikkus. Ring on pind: ringjoon koos kogu sisemusega. Sellel on pindala. Igapäevakeeles öeldakse mõlema kohta „ring“, matemaatikas mitte.

Keskpunktist ringjooneni ulatuv lõik on raadius r. Läbi keskpunkti kulgev, mõlemas otsas ringjoonel lõppev lõik on diameeter ehk läbimõõt d. Diameeter koosneb kahest raadiusest:

d = 2r   ja   r = d2

Ringjoone pikkus

Kui mõõta ükskõik millise ringi ümbermõõt ja jagada see läbimõõduga, saab alati sama arvu. Seda arvu tähistatakse kreeka tähega π (pii):

π = Cd ≈ 3,14

π on lõpmatu kümnendmurd, mis ei kordu kunagi (3,14159265…). Koolis kasutame ligikaudset väärtust π ≈ 3,14 ja kirjutame vastuse ette märgi ≈. Sellest saame ringjoone pikkuse valemi kahel kujul:

C = 2πr = πd

Ringi pindala

S = πr²

Pindala valemis on raadius alati ruudus — seepärast kahekordne raadius annab neljakordse pindala. Kaks korda suurema läbimõõduga pitsa eest tasub maksta rohkem kui kaks korda rohkem: seda on neli korda rohkem.

Kaar ja sektor

Terve ringjoon vastab kesknurgale 360°. Kui kesknurk on n kraadi, siis võtame terviku sellest osa, mis on n ∶ 360. Sama murd kehtib nii pikkuse kui pindala jaoks:

kaare pikkus:  l = n360 · 2πr sektori pindala:  S_sekt = n360 · πr²

Korrapärane hulknurk

Korrapärane hulknurk on hulknurk, mille kõik küljed on võrdsed ja kõik nurgad võrdsed. Korrapärane kolmnurk on võrdkülgne kolmnurk, korrapärane nelinurk on ruut.

Iga korrapärase hulknurga saab joonestada ringjoone sisse nii, et kõik tipud on ringjoonel — see on ümberringjoon raadiusega R. Sama keskpunkti ümber mahub ka väiksem siseringjoon, mis puudutab kõiki külgi. Selle raadius on apoteem m — kaugus keskpunktist külje keskkohani.

Keskpunktist tippudesse tõmmatud lõigud jagavad n-nurga n ühesuguseks võrdhaarseks kolmnurgaks. Sellest tulevad kõik valemid:

kesknurk:  α = 360°n   sisenurk:  β = (n − 2) · 180°n pindala:  S = 12 · P · m,  kus P on ümbermõõt

Kolm kõige sagedasemat korrapärast hulknurka

Kasutame ligikaudset väärtust 3 ≈ 1,73. Kuusnurga pindala saab ka apoteemi kaudu, sest kuusnurga apoteem on m = a32.

Kombineeritud kujundid

Praktilistes ülesannetes on kujund sageli mitme lihtsa kujundi liit või vahe: ruut koos poolringiga, ring ruudu sees, rõngas (kaks ühise keskpunktiga ringjoont). Reegel on lihtne — lahuta kujund tükkideks, arvuta iga tüki pindala eraldi ja siis liida või lahuta.

rõnga pindala:  S = πR² − πr² = π(R² − r²)

Ruumilise kujundi osad

Tasandil on kujunditel küljed ja nurgad. Ruumis on nimetused teised. Tahk on kujundi lame pind — üks „sein“. Serv on joon, kus kaks tahku kokku saavad. Tipp on punkt, kus servad kokku saavad. Näiteks tavalisel kingakarbil on 6 tahku, 12 serva ja 8 tippu.

Prismal on kaks ühesugust ja teineteisega paralleelset tahku — need on põhitahud ehk põhjad. Kõik ülejäänud tahud on külgtahud. Kõrgus h on kahe põhitahu vaheline kaugus.

Prismat nimetatakse põhja järgi: kolmnurkne prisma, nelinurkne prisma, kuusnurkne prisma. Kui prisma põhi on rööpkülik, saame püströöptahuka. Kui põhi on ristkülik, on tegemist risttahukaga — kõige tavalisem karbikuju. Ja kui risttahuka kõik servad on võrdsed, on see kuup.

Pinnalaotus

Pinnalaotus on see, mis jääb järele, kui lõikad karbi mööda servi lahti ja laotad tasandile laiali. Laotus on kogu keha pind ühe tasapinnalise joonisena. Just sellepärast on pinnalaotus pindala arvutamisel nii kasulik: keha täispindala on täpselt tema pinnalaotuse pindala.

Püstprisma laotusel on kõik külgtahud kõrvuti üheks suureks ristkülikuks. Selle ristküliku kõrgus on keha kõrgus h ja laius on põhja ümbermõõt P_p. Sellest tulebki külgpindala valem.

Püstprisma pindala ja ruumala

Külgpindala S_k on kõigi külgtahkude pindalade summa — põhjad ei lähe arvesse. Täispindala S on kogu keha pind, seega külgpindala pluss kaks põhja.

S_k = P_p · h    S = S_k + 2S_p

Ruumala näitab, kui palju keha sisse mahub. Püstprisma ruumala saad, kui korrutad põhja pindala kõrgusega:

V = S_p · h

Risttahuka puhul, mille servad on a, b ja c, tähendab see lihtsalt V = abc ja S = 2(ab + ac + bc).

Risttahuka ruumidiagonaal

Ruumidiagonaal d ühendab risttahuka kaks vastastippu, minnes läbi keha sisemuse. Selle leiad Pythagorase teoreemi kahekordse kasutamisega, aga valemina on see lihtne:

d = a² + b² + c²

See on sama mõte nagu tasandil d = a² + b², ainult üks mõõde rohkem.

Püramiid

Püramiidil on üks põhitahk (hulknurk) ja kõik külgtahud on kolmnurgad, mis kohtuvad ühes punktis — tipus. Püramiidi kõrgus h on kaugus tipust põhitasandini, mõõdetuna risti.

Korrapärane püramiid on selline, mille põhi on korrapärane hulknurk (näiteks ruut) ja tipp on täpselt põhja keskpunkti kohal. Ainult sellisel püramiidil on kõik külgtahud võrdsed kolmnurgad ja ainult siis saab rääkida apoteemist.

Apoteem m on külgtahu kõrgus — kaugus püramiidi tipust põhiserva keskpunktini. Apoteem ei ole sama mis keha kõrgus. Apoteem on alati pikem, sest ta kulgeb kaldu mööda külgtahku.

Korrapärase püramiidi külgpindala on kõigi ühesuguste kolmnurkade summa. Iga kolmnurga pindala on ½ · alus · m, ja kõik alused kokku annavad põhja ümbermõõdu:

S_k = 12 · P_p · m    S = S_k + S_p

Tähelepanu: püramiidil liidetakse ainult üks põhi, sest teist pole olemas. Ruumala valem on peaaegu sama nagu prismal, ainult kolmandik ees:

V = 13 · S_p · h

Ruumalaühikud ja liitrid

Pikkusühikud teisenevad kümne kaupa, pindalaühikud saja kaupa, ruumalaühikud tuhande kaupa. Põhjus on lihtne: kuubi iga serv pikeneb 10 korda, seega ruumala kasvab 10 · 10 · 10 = 1000 korda.

Meelde jäta kaks võtmeseost: 1 dm³ = 1 L ja 1 m³ = 1000 L. Neid läheb vaja igas praktilises ülesandes, kus küsitakse vee või pakendi kogust.

Pöördkehad — kehad, mille tekitab pöörlemine

Silinder, koonus ja kera erinevad prismast ja püramiidist ühe olulise asja poolest: neil ei ole ainult lamedaid tahke, vaid ka kõverpind. Neid nimetatakse pöördkehadeks, sest igaühe saab tekitada tasandilise kujundi pööramisel ümber telje. Ristküliku pööramisest tekib silinder, täisnurkse kolmnurga pööramisest koonus ja poolringi pööramisest kera.

Kõigis selle peatüki valemites esineb arv π (pii). See on ringjoone pikkuse ja diameetri suhe, ligikaudu π ≈ 3,14. Kui ülesandes ei ole öeldud teisiti, arvuta kalkulaatori π-nupuga ja ümarda vastus kahe komakohani ning kirjuta vastuse ette märk „≈“.

Silinder

Silindril on kaks võrdset ringikujulist põhja ja üks kõverpind — külgpind. Kõrgus h on põhjade vaheline kaugus, raadius r on põhja raadius.

Kõige tähtsam mõte on see, mis juhtub laotusega: silindri külgpind laotub lahti täiesti tavaliseks ristkülikuks. Selle ristküliku kõrgus on h ja laius on põhja ringjoone pikkus 2πr — sest just nii pikk ring on ümber purgi. Sellest tuleb kohe külgpindala valem.

S_k = 2πrh    S = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)    V = πr²h

Ruumala valem on sama mõte nagu prismal: põhja pindala korda kõrgus. Ainult et põhi on ring, mille pindala on πr².

Koonus

Koonusel on üks ringikujuline põhi ja üks tipp. Peale raadiuse r ja kõrguse h on koonusel veel üks tähtis pikkus: moodustaja m. See on lõik tipust põhja ringjoone punktini — mööda kõverpinda kõige lühemat teed, kaldu.

Kõrgus, raadius ja moodustaja moodustavad täisnurkse kolmnurga, kus moodustaja on hüpotenuus. Seega kehtib Pythagorase teoreem:

m² = r² + h²

Ühest saab alati leida teise: m = r² + h² ja h = m² − r².

Koonuse külgpind laotub lahti ringi sektoriks, aga selle pindala jaoks ei ole vaja sektoriga jännata — piisab valemist:

S_k = πrm    S = πr² + πrm = πr(r + m)    V = 13 πr²h

Kera

Kera on kõigi nende ruumipunktide hulk, mis on keskpunktist mitte kaugemal kui r. Keral ei ole ei tippe, servi ega lamedaid tahke ja tema pinda ei saa laotada tasandile ilma seda venitamata — just sellepärast on maakaardid alati veidi moonutatud.

S = 4πr²    V = 43 πr³

Poolkera ruumala on täpselt pool sellest: V = 23 πr³. Poolkera kõverpinna pindala on 2πr²; kui poolkeral on ka lame põhi, lisandub sellele ringi pindala πr².

Kombineeritud kehad

Päris esemed on sageli mitme keha kombinatsioon: jäätisetorbik on koonus pluss poolkera, veemahuti on silinder pluss kaks poolkera, pliiats on silinder pluss koonus. Selliste kehade puhul kehtib lihtne reegel: ruumalad liidetakse, aga pindalade puhul tuleb kokkupuutepind välja jätta, sest see jääb keha sisse ega ole enam pind.

Ühikud

Ühikute teisendamine käib täpselt samamoodi nagu eelmises peatükis: pindalal tuhandik-sada, ruumalal tuhat. Meeles tasub hoida: 1 dm³ = 1 L = 1000 cm³ ja 1 cm³ = 1 mL. Poole liitri pudel on seega 500 cm³.

Kogum, üldkogum ja valim

Statistiline kogum on kõik objektid, mida uuritakse — näiteks kõik ühe klassi õpilased või kõik ühel päeval müüdud koolilõunad. Iga uuritavat omadust nimetatakse tunnuseks: pikkus, hinne, lemmikaine.

Sageli on kogu hulk liiga suur, et kõiki läbi küsitleda. Siis eristatakse kahte asja. Üldkogum on kogu hulk, mille kohta tahame järeldusi teha (näiteks kõik Eesti 9. klassi õpilased). Valim on see osa, keda tegelikult uuriti (näiteks 500 juhuslikult valitud õpilast).

Valim peab olema juhuslik ja piisavalt suur. Kui küsitled ainult oma sõpru, ei saa tulemust laiendada kogu Eestile — sõbrad on sinuga liiga sarnased. See on statistika kõige tähtsam ettevaatusreegel.

Sagedus ja suhteline sagedus

Sagedus näitab, mitu korda üks väärtus andmetes esineb. Suhteline sagedus näitab, kui suure osa kogu hulgast see moodustab:

suhteline sagedus = sageduskõigi andmete arv

Suhteline sagedus on alati 0 ja 1 vahel. Protsentideks saad selle, kui korrutad 100-ga. Kõigi sageduste summa võrdub andmete arvuga ja kõigi suhteliste sageduste summa on alati 1 ehk 100% — see ongi kõige kiirem viis kontrollida, kas tabel sai õige.

Diagrammid

Sama tabelit saab näidata mitmel viisil ja iga diagrammitüüp sobib eri asja jaoks.

• Tulpdiagramm — võrdleb suurusi omavahel. Tulba kõrgus näitab sagedust. Sobib kõige paremini siis, kui tahad näha, milline väärtus on kõige sagedasem.
• Sektordiagramm ehk sektorjoonis — näitab osi tervikust. Kogu ring on 100%. Sobib siis, kui tähtis on jaotus, mitte täpsed arvud.
• Joondiagramm — näitab muutumist ajas. Punktid ühendatakse joonega, sest vahepealsed hetked on ka olemas. Kuupäevad, temperatuurid, hinnad.

Kolm keskmist: aritmeetiline keskmine, mediaan, mood

„Keskmine“ ei tähenda alati sama asja. Kasutusel on kolm eri suurust ja nad võivad anda väga erineva tulemuse.

Aritmeetiline keskmine on kõigi andmete summa jagatud andmete arvuga. See arvestab iga üksiku väärtusega, aga just seepärast lööb üksainus erakordselt suur või väike arv selle täiesti paigast.

x_k = x₁ + x₂ + … + x_nn

Mediaan on järjestatud andmerea keskmine liige. Kui andmeid on paaritu arv, on see täpselt keskmine arv. Kui andmeid on paarisarv, on mediaan kahe keskmise arvu aritmeetiline keskmine. Mediaani üksik hiigelsuur väärtus ei kõiguta — sellepärast avaldataksegi palkade kohta just mediaanpalk.

Mood on kõige sagedamini esinev väärtus. Moodi saab leida ka siis, kui andmed pole arvud (lemmikvärv, lemmikaine). Moode võib olla mitu või ei pruugi olla ühtegi.

Sündmuse tõenäosus

Katse on toiming, mille tulemust ei saa ette teada: täringu vise, loosipileti tõmbamine, mündi viskamine. Sündmus on see, mille toimumise vastu me huvi tunneme, näiteks „täringul tuleb paarisarv“.

Kui kõik võimalikud tulemused on võrdvõimalikud, arvutatakse tõenäosus lihtsa suhtena:

P = soodsate juhtude arvkõigi võimalike juhtude arv

Tõenäosus on alati 0 ja 1 vahel. Kaks piirjuhtu on eraldi nimega:

• Kindel sündmus toimub alati: P = 1 ehk 100%. Näiteks „täringul tuleb arv 1 kuni 6“.
• Võimatu sündmus ei toimu kunagi: P = 0. Näiteks „täringul tuleb 7“.

Kui saad tõenäosuseks arvu, mis on suurem kui 1 või väiksem kui 0, on kindlasti tehtud viga. Kõige sagedamini on siis lugeja ja nimetaja vahetusse läinud.

Vastandsündmus

Vastandsündmus on „see, et sündmus ei toimu“. Kui sündmuse A tõenäosus on P(A), siis vastandsündmuse tõenäosus on

P(A̅) = 1 − P(A)

Põhjus on lihtne: kas sündmus toimub või ei toimu, kolmandat võimalust ei ole, seega peavad need kaks tõenäosust kokku andma 1. See on väga kasulik nipp: kui „vähemalt üks“ tüüpi sündmust on raske otse loendada, on vastandsündmust („mitte ühtegi“) tavaliselt palju lihtsam.

Kust valgus tuleb?

Valgusallikas on keha, mis ise valgust kiirgab. Valgusallikad jagunevad kaheks: loomulikud (Päike, tähed, välk, jaanimardikas) ja tehislikud (lambipirn, LED, küünal, ekraan).

Sellest tuleb hoolikalt eristada teist jaotust: iseseisvad valgusallikad kiirgavad ise valgust, peegeldavad kehad aga ainult saadavad valgust edasi. Kuu, planeedid, raamatuleht ja liiklusmärk ei ole valgusallikad — nad lihtsalt peegeldavad Päikese või lambi valgust. Pimedas toas ei paista raamatuleht midagi.

Valgus on energia üks levimise viis. Kui valgus neeldub kehas, muutub ta soojuseks — sellepärast lähed sa musta särgiga päikese käes kuumaks ja seepärast töötab päikesepaneel.

Valgus levib sirgjooneliselt

Optiliselt ühtlases keskkonnas levib valgus sirgjooneliselt. „Optiliselt ühtlane“ tähendab, et keskkonna omadused on kõikjal samad — näiteks puhas õhk, klaas või vesi. Just seepärast saad joonistel valgust kujutada valguskiirena ehk sirge joonena, millel on nooleke suuna märkimiseks.

Sirgjoonelise levimise otsene tagajärg on vari. Kui läbipaistmatu keha satub valguse teele, ei pääse valgus temast läbi ja keha taha jääb valgustamata ala.

• Täisvari — ala, kuhu ei jõua valgust ühestki valgusallika punktist.
• Poolvari — ala, kuhu jõuab valgust ainult osast valgusallikast. Poolvari tekib siis, kui valgusallikas ei ole punktikujuline, vaid mõõtmetega.

Kuu faasid ja varjutused

Kuu ei kiirga ise valgust — me näeme temast alati seda osa, mis on Päikese poolt valgustatud ja Maalt vaadates nähtav. Kuu tiirlemise käigus muutub see osa: nii tekivad Kuu faasid — noorkuu, esimene veerand, täiskuu, viimane veerand.

Varjutus on hoopis midagi muud: seal langeb üks keha varju teisele.

• Päikesevarjutus: Kuu jääb Maa ja Päikese vahele ning Kuu vari langeb Maale. Täisvarju alal on täisvarjutus, poolvarju alal osaline varjutus.
• Kuuvarjutus: Maa jääb Päikese ja Kuu vahele ning Maa vari langeb Kuule.

Peegeldumisseadus

Kui valgus jõuab pinnale, pöördub osa sellest tagasi — valgus peegeldub. Nurki ei mõõdeta mitte peegli pinnast, vaid ristsirgest ehk normaalist — abijoonest, mis on peegli pinnaga risti langemispunktis.

α = β

Peegeldumisseadus ütleb kolm asja: 1) langemisnurk α on võrdne peegeldumisnurgaga β; 2) langev kiir, peegeldunud kiir ja ristsirge on ühes tasandis; 3) langev ja peegeldunud kiir on ristsirge eri pooltel.

Tasapeegel

Sile peegel annab näiva kujutise. Näiv tähendab, et valguskiired tegelikult peegli taga ei käi — nad ainult paistavad sealt tulevat. Näivat kujutist ei saa ekraanile püüda.

Kujutis tasapeeglis on:

• sama suur kui ese;
• sama kaugel peegli taga, kui ese on peeglist ees;
• püstine, aga peegelsümmeetriline — vasak ja parem vahetavad kohad (proovi peegli ees teksti lugeda).

Kui pind ei ole sile, vaid krobeline — paber, sein, matt värv —, peegeldub valgus igast pisikesest ebatasasusest eri suunda. Seda nimetatakse hajus peegeldumiseks. Peegeldumisseadus kehtib ka siin, aga iga punkti normaal on eri suunas, nii et kujutist ei teki. Just tänu hajusale peegeldumisele näed sa seina ja raamatulehte igast suunast ühtemoodi.

Valguse murdumine

Kui valgus läheb ühest läbipaistvast keskkonnast teise (õhust vette, veest klaasi), muudab ta piiripinnal suunda — valgus murdub. Nurka murdunud kiire ja ristsirge vahel nimetatakse murdumisnurgaks.

• Õhust vette või klaasi minnes on murdumisnurk väiksem kui langemisnurk — kiir pöördub ristsirgele lähemale.
• Veest või klaasist õhku minnes on murdumisnurk suurem kui langemisnurk — kiir pöördub ristsirgest eemale.
• Kui kiir langeb pinnale risti (langemisnurk 0°), ei murdu ta üldse.

Murdumise tõttu paistab vees olev kepp murdunud ja bassein madalam, kui ta tegelikult on.

Kehade värvus

Läbipaistmatu keha värvus tuleneb sellest, millise värvusega valgust ta peegeldab ja millise neelab. Punane õun peegeldab valgest valgusest punase osa ja neelab ülejäänud. Valge keha peegeldab kõiki värvusi, must neelab peaaegu kõik.

Sellest järeldub tähtis asi: keha värvus sõltub ka valgusest, milles teda vaadatakse. Punane särk paistab rohelises valguses must, sest rohelises valguses ei ole punast, mida särk saaks peegeldada — ja rohelise ta neelab ära.

Kaks läätse liiki

Lääts on läbipaistev keha, mille vähemalt üks pind on kumer või nõgus. Läätse mõju põhineb valguse murdumisel: kiir murdub läätsesse sisenedes ja teist korda sealt väljudes.

• Kumerlääts on servadest õhem ja keskelt paksem. Ta koondab valguskiiri, seepärast nimetatakse teda ka koondavaks läätseks.
• Nõuslääts on keskelt õhem ja servadest paksem. Ta hajutab valguskiiri — hajutav lääts.

Sirge, mis läbib läätse keskpunkti ja on läätse pindadega risti, on optiline peatelg. Peateljega paralleelsed kiired koonduvad pärast kumerläätse ühte punkti — see on läätse fookus F. Kaugust läätse keskpunktist fookuseni nimetatakse fookuskauguseks f. Fookuseid on kaks, läätse mõlemal pool ühel ja samal kaugusel.

Nõusläätsel koonduvad ainult kiirte pikendused: fookus on näiv ja asub samal pool läätse, kust valgus tuli.

Optiline tugevus

Mida kõveramad on läätse pinnad, seda tugevamalt ta valgust murrab ja seda lühem on fookuskaugus. Läätse murdmisvõimet kirjeldatakse optilise tugevusega:

D = 1f

• f — fookuskaugus meetrites (mitte sentimeetrites!);
• D — optiline tugevus, ühik dioptria (dptr). 1 dptr on läätse tugevus, mille fookuskaugus on 1 m;
• kumerläätsel on D > 0 (positiivne), nõusläätsel D < 0 (negatiivne).

Kui kaks õhukest läätse panna tihedalt kokku, liidetakse nende optilised tugevused: D = D₁ + D₂. Just nii töötavad prillid koos silmaläätsega.

Kujutise konstrueerimine kumerläätsega

Kujutise leidmiseks piisab kolmest iseloomulikust kiirest, mille käiku me teame ette:

1. Peateljega paralleelne kiir murdub läbi fookuse F′.
2. Läätse keskpunkti läbiv kiir ei muuda suunda.
3. Läbi fookuse F tulev kiir väljub peateljega paralleelselt.

Piisab kahest kiirest — kolmas on kontrolliks. Kui kiired ise lõikuvad, on kujutis tõeline (seda saab ekraanile püüda). Kui lõikuvad ainult kiirte pikendused, on kujutis näiv.

Kujutise omadused sõltuvad sellest, kui kaugel ese läätsest on:

Silm kui optiline süsteem

Silma esiküljel on läbipaistev sarvkest, mille taga on painduv silmalääts. Koos moodustavad nad tugeva kumerläätse, mis tekitab silma tagaseinal olevale võrkkestale tõelise, pööratud ja vähendatud kujutise. Võrkkesta närvirakud saadavad signaali nägemisnärvi kaudu ajju — ja aju keerab pildi õigetpidi.

Silmalääts saab lihaste abil oma kumerust muuta. Nii püsib kujutis alati täpselt võrkkestal, olgu ese lähedal või kaugel. Kui see süsteem ei tööta täpselt, tekib nägemisviga.

Lühinägelikkus ja kaugnägelikkus

• Lühinägelik inimene näeb hästi lähedale, aga kaugele mitte. Silma optiline tugevus on liiga suur ja kujutis tekib võrkkesta ette. Parandus: nõuslääts, prillide optiline tugevus on negatiivne (nt −2 dptr).
• Kaugnägelik inimene näeb hästi kaugele, aga lähedale mitte. Optiline tugevus on liiga väike ja kujutis tekiks võrkkesta taha. Parandus: kumerlääts, optiline tugevus positiivne (nt +2 dptr).

Optilised riistad

Luup on lühikese fookuskaugusega kumerlääts. Uuritav ese hoitakse fookusest lähemal, siis tekib näiv, püstine ja suurendatud kujutis. Mida väiksem on fookuskaugus (ehk mida suurem D), seda suurem on suurendus.

Fotoaparaat töötab vastupidi: pildistatav on läätsest palju kaugemal kui 2f, seepärast tekib maatriksile tõeline, pööratud ja vähendatud kujutis — täpselt nagu silma võrkkestal. Teravustamiseks nihutatakse objektiivi maatriksi suhtes edasi-tagasi.

Liikumine on alati millegi suhtes

Istud bussis akna all. Kas sa liigud? Bussi põranda suhtes seisad paigal, tee ääres seisva puu suhtes kihutad 60 km/h. Mõlemad vastused on õiged — lihtsalt erineva keha suhtes.

Joont, mida mööda keha liigub, nimetatakse trajektooriks. Trajektoori pikkust nimetatakse teepikkuseks, tähis s, põhiühik meeter (m). Teepikkus ei saa kunagi väheneda: kui kõnnid poodi ja tagasi, on teepikkus kahekordne, kuigi jõuad sinna, kust alustasid.

Ühtlane ja mitteühtlane liikumine

Liikumine on ühtlane, kui keha läbib võrdsetes ajavahemikes võrdsed teepikkused — iga sekundiga täpselt sama palju. Kui teepikkused on erinevad, on liikumine mitteühtlane. Päris elus on peaaegu kõik liikumine mitteühtlane: auto pidurdab ristmiku ees ja kiirendab uuesti.

Kiirus näitab, kui pika tee keha ühes ajaühikus läbib:

v = st

Samast seosest saab avaldada ka ülejäänud kaks suurust: s = v · t ja t = s/v. Kiiruse põhiühik on meeter sekundis (m/s), liikluses kasutatakse kilomeetrit tunnis (km/h).

m/s ja km/h teisendamine

1 m/s tähendab 1 meetrit sekundis. Tunnis on 3600 sekundit, kilomeetris 1000 meetrit, seega 1 m/s = 3600 m/h = 3,6 km/h. Sellest tulebki lihtne reegel:

m/s → km/h: korruta 3,6-ga  ·  km/h → m/s: jaga 3,6-ga

Keskmine kiirus

Mitteühtlase liikumise kirjeldamiseks kasutatakse keskmist kiirust:

v_k = kogu teepikkuskogu aeg

See tähendab: liida kokku kõik läbitud kilomeetrid, liida kokku kogu kulunud aeg (ka seisakud!) ja jaga. Keskmine kiirus vastab küsimusele: „Millise ühtlase kiirusega oleks pidanud sõitma, et sama tee samas ajas läbida?“

Liikumisgraafikud

Kui s–t graafiku joon läheb horisontaalseks, seisab keha paigal (aeg möödub, teepikkus ei kasva). Kui joon muutub järsemaks, on keha kiirus kasvanud.

Mass ja inerts

Mass (tähis m, ühik kilogramm, kg) näitab, kui palju ainet kehas on. Ühtlasi on mass inertsuse mõõt: mida suurem mass, seda raskem on keha liikumist muuta. Tühja ostukäru saad ühe käega peatada, täis käru mitte — sama kiirus, aga palju suurem mass.

Aine tihedus

Üks kilogramm vatti täidab terve koti, üks kilogramm pliid mahub peopessa. Seda erinevust kirjeldab tihedus: kui suur on ühe ruumalaühiku mass.

ρ = mV

Kreeka tähte ρ loetakse „roo“. Põhiühik on kg/m³, kasutusel on ka g/cm³. Samast seosest: m = ρ · V ja V = m/ρ. Tihedus on aine tunnus — ta ei sõltu sellest, kui suur tükk ainet sul on. Väike raudnael ja suur raudvarb on mõlemad tihedusega 7800 kg/m³.

1 g/cm³ = 1000 kg/m³

Miks nii? 1 g = 0,001 kg ja 1 cm³ = 0,000001 m³. Jagatis 0,001 ∶ 0,000001 = 1000. Seega g/cm³-st kg/m³-i minnes korruta 1000-ga, vastupidi jaga 1000-ga.

Tabelist on kohe näha, miks jää vee peal ujub: jää tihedus on veest väiksem. Kõik ained, mille tihedus on alla 1000 kg/m³, ujuvad vees.

Kuidas leida ruumala?

Korrapärase keha (kuup, risttahukas) ruumala saab mõõdulindiga ja arvutamisega. Ebakorrapärase keha — näiteks kivi — ruumala mõõdetakse mõõtesilindriga: vala silindrisse vett, loe tase üles, lase keha vette ja loe uus tase. Ruumala on nende vahe. 1 mL = 1 cm³.

Jõud sünnib alati kahe keha vahel

Lükkad seina — sein lükkab sind vastu. Maa tõmbab õuna alla — õun tõmbab Maad üles (lihtsalt Maa on nii suur, et sellest ei ole midagi näha). Vastastikmõju tähendabki, et jõud ei teki kunagi üksi: kui keha A mõjub kehale B, siis mõjub ka B kehale A.

Sellepärast kujutatakse jõudu joonisel noolega: noole algus on rakenduspunkt, noole suund on jõu suund ja noole pikkus näitab jõu suurust. Kaks korda pikem nool = kaks korda suurem jõud. Umbes 1 N on jõud, millega Maa tõmbab keskmise suurusega õuna.

Gravitatsioon ja raskusjõud

Kõik kehad tõmbavad üksteist — seda nimetatakse gravitatsiooniks. Igapäevaelus on tunda vaid Maa tõmmet, sest Maa on võrreldamatult suurem kui kõik meid ümbritsevad kehad. Jõudu, millega Maa keha enda poole tõmbab, nimetatakse raskusjõuks:

F = m · g

Siin m on keha mass kilogrammides ja g on raskuskiirendus, mille väärtus Maal on g ≈ 9,8 N/kg. See tähendab: iga kilogramm massi tõmmatakse alla ligikaudu 9,8-njuutonise jõuga. Kui ülesanne lubab, võib ligikaudsete arvutuste jaoks kasutada ka g = 10 N/kg.

g väärtus sõltub taevakehast. Kuul on g_Kuu ≈ 1,6 N/kg, seega tõmmatakse sama keha Kuul umbes kuus korda nõrgemini alla. Just seepärast said kuukõndijad kergelt hüpelda, kuigi nende skafander oli raske.

Raskusjõuga on seotud ka kaal — jõud, millega keha mõjub toele või riputusvahendile. Erinevus on selles, kellele jõud mõjub: raskusjõud mõjub kehale (Maa poolt), kaal mõjub toele (keha poolt). Paigal seisval kehal on need arvuliselt võrdsed.

Neli jõudu ühel joonisel

Hõõrdejõud

Hõõrdejõud tekib kokkupuutuvate pindade vahel ja on alati suunatud liikumisele vastu. Eristatakse kolme liiki:

• Seisuhõõre — keha ei ole veel paigast liikunud. See on kõige suurem: raske kapp ei nihku enne, kui lükkad piisavalt tugevasti.
• Liuglemishõõre — keha libiseb üle pinna (suusk lumel, kelk teel).
• Veerehõõre — keha veereb (ratas, kuullaager). See on tunduvalt väiksem kui liuglemishõõre — just sellepärast on ratas nii tähtis leiutis.

Hõõrdejõud sõltub pindade materjalist ja karedusest ning sellest, kui tugevasti kehad üksteise vastu surutakse (ehk toejõust).

Hõõre ei ole ainult tüütus. Ilma hõõrdeta ei saaks kõndida, auto ei saaks pidurdada ja nael ei püsiks seinas. Seepärast hõõrdejõudu kord vähendatakse (õli, laagrid, suusamääre), kord suurendatakse (naastrehvid, kummitallad, liiv jäisel teel).

Elastsusjõud ja dünamomeeter

Kui keha kuju või mõõtmeid muudetakse, nimetatakse seda deformatsiooniks. Deformeeritud kehas tekib elastsusjõud, mis püüab keha algsesse kuju tagasi viia. Deformatsioon on elastne, kui keha võtab pärast koormuse eemaldamist täpselt endise kuju (vedru, kummipael), ja plastne, kui uus kuju jääb püsima (plastiliin, painutatud traat).

Mida rohkem vedru venitada, seda suurem on elastsusjõud. Just sellel põhinebki dünamomeeter — jõu mõõtmise riist. Vedru venib täpselt niipalju, kuni tekkiv elastsusjõud tasakaalustab mõõdetava jõu; osuti näitab jõu suurust njuutonites.

Jõudude liitmine ja tasakaal

Kui kehale mõjub mitu jõudu ühel ja samal sirgel, saab need asendada ühe jõuga, mida nimetatakse resultantjõuks:

• Samasuunalised jõud — resultant on nende summa, suund sama: F = F₁ + F₂.
• Vastassuunalised jõud — resultant on nende vahe, suund suurema jõu suunas: F = F₁ − F₂.

Kui vastassuunalised jõud on võrdsed, on resultant null ja jõud on tasakaalus. Siis kehtib tähtis reegel:

Rõhk — jõud jaotatud pinnale

Kui sa vajutad sõrmega lauale, mõjub laual jõud. Aga sama jõuga nõelaotsa vajutades tekib täiesti teistsugune tagajärg. Miks? Sest tähtis ei ole ainult jõud, vaid ka kui suurele pinnale see jõud jaotub. Just seda kirjeldab rõhk.

Valemist on kohe näha kaks asja. Sama jõud annab väiksemal pinnal suurema rõhu. Sellepärast lõikab terav nuga paremini kui nüri: terava noa tera puutepind on tuhandeid kordi väiksem, seega rõhk on tuhandeid kordi suurem, ja see rõhk lõhubki toiduaine osakeste vahelised sidemed. Samal põhjusel on naelal terav ots, aga naelapeal lai pind — otsa all peab rõhk olema suur, haamri all mitte.

Vastupidine trikk töötab ka: kui tahad rõhku vähendada, suurenda pinda. Suusad, roomikud, lai kotikanderihm ja lume peal kõndiva põdra laiad sõrad on kõik sama füüsika: kaal jääb samaks, pind kasvab, rõhk kahaneb.

Rõhk vedelikes ja gaasides

Tahke keha kannab rõhu edasi ainult ühes suunas — alla. Vedelikes ja gaasides on lugu teine, sest nende osakesed liiguvad vabalt.

Sellel seadusel põhineb hüdrauliline press. Ühendatud silindrites on väike ja suur kolb. Väiksele kolvile vajutades tekib vedelikus rõhk, mis kandub muutumatult suure kolvi alla. Kuna suure kolvi pindala on palju suurem, on ka jõud seal palju suurem — F = p · S. Nii tõstab autoremonditöökoja tungraud auto üles inimese käejõuga. Sama põhimõte töötab auto piduritorudes ja ekskavaatori kopa juhtimises.

Rõhk vedelikusambas

Vedelik on raske ja vajutab omaenda raskusega. Mida sügavamale sukelduda, seda paksem vedelikukiht jääb pealepoole ja seda suurem on rõhk:

p = ρgh

• ρ (roo) — vedeliku tihedus, ühik kg/m³ (vee tihedus on 1000 kg/m³);
• g — raskuskiirendus, g ≈ 10 N/kg (täpsem väärtus 9,8 N/kg);
• h — sügavus vedeliku pinnast alates, meetrites.

Õhurõhk

Ka õhk on raske. Meie kohal on kümnete kilomeetrite paksune õhukiht ja see vajutab meile igast küljest. Normaalrõhk merepinnal on ligikaudu 100 kPa (täpne kokkuleppeline väärtus 101,3 kPa). See tähendab, et igale ruutsentimeetrile sinu nahal vajutab õhk umbes 10 N jõuga — ainult seetõttu me seda ei tunne, et sama rõhk mõjub ka seestpoolt väljapoole.

Õhurõhku mõõdetakse baromeetriga, kinnise anuma sees olevat rõhku manomeetriga. Mägedesse minnes õhurõhk kahaneb, sest pea kohale jääb vähem õhku — 5 km kõrgusel on see juba umbes poole väiksem.

Üleslükkejõud ja Archimedese seadus

Vees tundub kivi kergem kui õhus. Põhjus on lihtne: keha alumine pind on sügavamal kui ülemine, seega vajutab vedelik altpoolt üles tugevamini kui pealtpoolt alla. Nende rõhkude vahe annabki üleslükkejõu.

Ujub, heljub või upub?

Täielikult sukeldatud kehale mõjuvad kaks jõudu: raskusjõud alla ja üleslükkejõud üles. Kumb võidab, selle otsustab tiheduste võrdlus — ja seda saab teha ilma ühtegi arvutust tegemata.

Mehaaniline töö

Igapäevakeeles on „töö“ kõik see, mis väsitab. Füüsikas on töö palju kitsam mõiste ja just see erinevus tekitab kõige rohkem segadust.

Võimsus — kui kiiresti tööd tehakse

Kaks inimest kannavad sama koorma sama trepi otsa. Töö on mõlemal ühesugune, aga üks teeb selle ära 10 sekundiga, teine 60 sekundiga. Seda vahet kirjeldab võimsus.

N = At

Ühik on vatt (W): 1 W = 1 J/s. Suuremad ühikud: 1 kW = 1000 W, 1 MW = 1 000 000 W. Inimene suudab lühiajaliselt arendada mõnisada vatti, tolmuimeja on umbes 1000 W, elektriauto mootor sadu kilovatte.

Energia

Energia näitab, kui palju tööd keha on võimeline tegema. Energia ühik on sama mis tööl — džaul. Mehaanikas on kaks energialiiki.

Töö ja energia on tihedalt seotud: tehtud töö võrdub energia muutusega. Kui tõstad raamatu riiulisse, teed tööd ja täpselt sama palju potentsiaalset energiat raamat juurde saab.

Mehaanilise energia jäävuse seadus

Kui hõõrdumist ja õhutakistust saab tähelepanuta jätta, siis potentsiaalse ja kineetilise energia summa ei muutu — energia muundub ühest liigist teise.

E_p + E_k = jääb samaks

Lihtmehhanismid

Lihtmehhanism on seade, mis muudab jõu suurust või suunda. Neli tähtsamat on kang, kaldpind, plokk ja hammasülekanne.

Kang

Kang on jäik varb, mis saab pöörelda ümber toepunkti. Kangi tasakaalu tingimus on jõuõlgade reegel:

F₁ · l₁ = F₂ · l₂

Jõuõlg on kaugus toepunktist jõu mõjusirgeni. Mida pikem õlg, seda väiksem jõud on vaja — sellepärast on kangil pikk vars.

Kaldpind, plokk ja hammasülekanne

• Kaldpind — koorma tõstmise asemel lükatakse see kaldu pinda mööda üles. Vajalik jõud on väiksem, aga tee on pikem. Kruvi ja kiil on samuti kaldpinnad.
• Liikumatu plokk muudab ainult jõu suunda (alla tõmmates tõuseb koorem üles), jõu suurust ta ei muuda. Liikuv plokk vähendab vajalikku jõudu umbes kaks korda, kuid nööri tuleb tõmmata kaks korda pikemalt.
• Hammasülekanne annab võidu jõus siis, kui vedav ratas on väiksem kui veetav. Jalgratta käigud töötavad just nii: kerge käik = väiksem jõud, aga rohkem pedaalipöördeid.

Kasutegur

Päris elus läheb osa tehtud tööst hõõrdumisele ja mehhanismi enda osade liigutamisele. Kasutegur näitab, kui suur osa kogu tehtud tööst läks tegelikult asja ette:

η = A_kasulikA_kogu · 100 %

Kreeka täht η (eeta). Kasutegur on alati väiksem kui 100 % — kui keegi lubab rohkem, on tegemist eksitusega. Kaldpinna kasutegur on tavaliselt 60–90 %, elektrimootoril üle 90 %, tavalisel autol vaid umbes 25 %.

Mis on võnkumine?

Tõmba kiik tagasi ja lase lahti. Kiik liigub edasi-tagasi, ikka ja jälle sama teed pidi. Sellist korduvat liikumist ümber ühe kindla tasakaaluasendi nimetataksegi võnkumiseks.

Võnkuda võib väga palju asju: niidi otsas rippuv raskus (niitpendel), vedru otsas rippuv keha, kitarrikeel, kõlarimembraan, hüppelaua ots. Ühine on see, et keha liigub tasakaaluasendist välja ja miski tõmbab teda kogu aeg tagasi.

Periood ja sagedus on pöördvõrdelised — nad on teineteise pöördväärtused:

f = 1T   ja   T = 1f

Kui katses on loetud N võnget ajaga t, saab mõlemad suurused otse välja arvutada:

T = tN   ja   f = Nt

Lained

Kui viskad kivi vette, ei jää võnkumine ühte kohta — ta hakkab levima. Laine on võnkumise levimine ruumis. Tähtis on tähele panna, et laines liigub edasi võnkumine ja energia, mitte aine ise: veepinnal hulpiv leht liigub ainult üles-alla, mitte koos lainega kaldale.

Lainepikkus on kahe lähima ühesuguses olekus oleva punkti vaheline kaugus — näiteks kahe lainetipu vahe. Tähis λ (lambda), ühik meeter.

Heli tekkimine ja levimine

Heli tekib alati mingi keha võnkumisest ja levib aine osakeste võnkumise kaudu edasi. Kitarrikeel võngub, paneb võnkuma ümbritseva õhu, õhu võnkumine jõuab su kõrva ja paneb võnkuma kuulmekile.

Arvutustes kasutame õhus heli kiirust 340 m/s. Võrdle: valguse kiirus on ligi miljon korda suurem, seepärast näemegi välku enne, kui kuuleme kõuemürinat.

Heli kõrgus ja valjus

Kaks erinevat asja, mida sageli segamini aetakse.

Kitarril on peenike keel kilekõlaline (suur sagedus) ja jäme keel madala kõlaga (väike sagedus). Kui tõmbad keelt tugevamini, ei muutu heli kõrgus — muutub ainult valjus, sest amplituud on suurem.

Kuuldeulatus, infra- ja ultraheli

Inimkõrv kuuleb helisid sagedusvahemikus umbes 20 Hz kuni 20 000 Hz. Vanuse kasvades ülemine piir langeb.

Kaja

Kaja tekib, kui heli peegeldub takistuselt tagasi ja jõuab kõrva eraldi hiljem. Selleks peab takistus olema piisavalt kaugel: inimkõrv eristab kaht heli, kui nende vahe on vähemalt umbes 0,1 s.

Müra ja mürakaitse

Müra on soovimatu, häiriv heli. Pidev vali müra kahjustab kuulmist pöördumatult — kadunud kuulmisrakud ei taastu. Valjust mõõdetakse detsibellides (dB): tavaline vestlus on umbes 60 dB, tänavaliiklus 80 dB, kontsert või mootorsaag üle 100 dB.

Mürakaitse võtted: müraallika summutamine (vaiksemad rehvid, mootori kate), müra levimise takistamine (müratõkkeseinad kiirteede ääres, pakettaknad, pehmed materjalid ruumis) ja kuulmise kaitsmine (kõrvaklapid, kõrvatropid). Kõige lihtsam nipp on aga muusika kuulamisel helitugevust vähendada — just kõrvaklapid on tänapäeva noorte kuulmiskahjustuse peamine põhjus.